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Theorem mbfmulc2re 22345
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2re.3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 fdm 5717 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
5 dmexg 6714 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  _V )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  _V )
73, 6eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 mbfmulc2re.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
101ffvelrnda 6008 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
11 fconstmpt 4866 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
131feqmptd 5901 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
147, 9, 10, 12, 13offval2 6537 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )
159, 10remul2d 13207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Re `  ( F `  x ) ) ) )
1615mpteq2dva 4480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
1710recld 13174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
18 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) ) )
197, 9, 17, 12, 18offval2 6537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2016, 19eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2113, 4eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
2210ismbfcn2 22336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) ) )
2321, 22mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) )
2423simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
25 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
2617, 25fmptd 6032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
2724, 8, 26mbfmulc2lem 22344 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
2820, 27eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
299, 10immul2d 13208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Im `  ( F `  x ) ) ) )
3029mpteq2dva 4480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3110imcld 13175 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
32 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) ) )
337, 9, 31, 12, 32offval2 6537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3430, 33eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3523simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
36 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
3731, 36fmptd 6032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
3835, 8, 37mbfmulc2lem 22344 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
3934, 38eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
408recnd 9651 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4140adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4241, 10mulcld 9645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  ( F `  x ) )  e.  CC )
4342ismbfcn2 22336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn ) ) )
4428, 39, 43mpbir2and 923 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
4514, 44eqeltrd 2490 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   {csn 3971    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518   CCcc 9519   RRcr 9520    x. cmul 9526   Recre 13077   Imcim 13078  MblFncmbf 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318
This theorem is referenced by:  mbfneg  22347  mbfmulc2  22360  itgmulc2nclem2  31435  itgmulc2nc  31436  itgabsnc  31437
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