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Theorem mbfmulc2re 21785
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2re.3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 fdm 5728 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
5 dmexg 6707 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  _V )
73, 6eqeltrrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 mbfmulc2re.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
101ffvelrnda 6014 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
11 fconstmpt 5037 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
131feqmptd 5913 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
147, 9, 10, 12, 13offval2 6533 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )
159, 10remul2d 13012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Re `  ( F `  x ) ) ) )
1615mpteq2dva 4528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
1710recld 12979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
18 eqidd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) ) )
197, 9, 17, 12, 18offval2 6533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2016, 19eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2113, 4eqeltrrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
2210ismbfcn2 21776 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) ) )
2321, 22mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) )
2423simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
25 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
2617, 25fmptd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
2724, 8, 26mbfmulc2lem 21784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
2820, 27eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
299, 10immul2d 13013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Im `  ( F `  x ) ) ) )
3029mpteq2dva 4528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3110imcld 12980 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
32 eqidd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) ) )
337, 9, 31, 12, 32offval2 6533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3430, 33eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3523simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
36 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
3731, 36fmptd 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
3835, 8, 37mbfmulc2lem 21784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
3934, 38eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
408recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4241, 10mulcld 9607 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  ( F `  x ) )  e.  CC )
4342ismbfcn2 21776 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn ) ) )
4428, 39, 43mpbir2and 915 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
4514, 44eqeltrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  oF  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   {csn 4022    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   dom cdm 4994   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515   CCcc 9481   RRcr 9482    x. cmul 9488   Recre 12882   Imcim 12883  MblFncmbf 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-xmet 18178  df-met 18179  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758
This theorem is referenced by:  mbfneg  21787  mbfmulc2  21800  itgmulc2nclem2  29648  itgmulc2nc  29649  itgabsnc  29650
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