Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2 21943
 Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1
mbfmulc2.2
mbfmulc2.3 MblFn
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 MblFn
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6
31, 2mbfdm2 21918 . . . . 5
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9
54recld 13006 . . . . . . . 8
65adantr 465 . . . . . . 7
76recnd 9625 . . . . . 6
81, 2mbfmptcl 21917 . . . . . . . 8
98recld 13006 . . . . . . 7
109recnd 9625 . . . . . 6
117, 10mulcld 9619 . . . . 5
12 ovex 6309 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 fconstmpt 5033 . . . . . . 7
1514a1i 11 . . . . . 6
16 eqidd 2444 . . . . . 6
173, 6, 9, 15, 16offval2 6541 . . . . 5
184imcld 13007 . . . . . . . 8
1918renegcld 9992 . . . . . . 7
2019adantr 465 . . . . . 6
218imcld 13007 . . . . . 6
22 fconstmpt 5033 . . . . . . 7
2322a1i 11 . . . . . 6
24 eqidd 2444 . . . . . 6
253, 20, 21, 23, 24offval2 6541 . . . . 5
263, 11, 13, 17, 25offval2 6541 . . . 4
2718adantr 465 . . . . . . . . 9
2827recnd 9625 . . . . . . . 8
2921recnd 9625 . . . . . . . 8
3028, 29mulcld 9619 . . . . . . 7
3111, 30negsubd 9942 . . . . . 6
3228, 29mulneg1d 10015 . . . . . . 7
3332oveq2d 6297 . . . . . 6
344adantr 465 . . . . . . 7
3534, 8remuld 13030 . . . . . 6
3631, 33, 353eqtr4d 2494 . . . . 5
3736mpteq2dva 4523 . . . 4
3826, 37eqtrd 2484 . . 3
398ismbfcn2 21919 . . . . . . 7 MblFn MblFn MblFn
401, 39mpbid 210 . . . . . 6 MblFn MblFn
4140simpld 459 . . . . 5 MblFn
42 eqid 2443 . . . . . 6
4310, 42fmptd 6040 . . . . 5
4441, 5, 43mbfmulc2re 21928 . . . 4 MblFn
4540simprd 463 . . . . 5 MblFn
46 eqid 2443 . . . . . 6
4729, 46fmptd 6040 . . . . 5
4845, 19, 47mbfmulc2re 21928 . . . 4 MblFn
4944, 48mbfadd 21941 . . 3 MblFn
5038, 49eqeltrrd 2532 . 2 MblFn
51 ovex 6309 . . . . . 6
5251a1i 11 . . . . 5
53 ovex 6309 . . . . . 6
5453a1i 11 . . . . 5
553, 6, 21, 15, 24offval2 6541 . . . . 5
56 fconstmpt 5033 . . . . . . 7
5756a1i 11 . . . . . 6
583, 27, 9, 57, 16offval2 6541 . . . . 5
593, 52, 54, 55, 58offval2 6541 . . . 4
6034, 8immuld 13031 . . . . 5
6160mpteq2dva 4523 . . . 4
6259, 61eqtr4d 2487 . . 3
6345, 5, 47mbfmulc2re 21928 . . . 4 MblFn
6441, 18, 43mbfmulc2re 21928 . . . 4 MblFn
6563, 64mbfadd 21941 . . 3 MblFn
6662, 65eqeltrrd 2532 . 2 MblFn
6734, 8mulcld 9619 . . 3
6867ismbfcn2 21919 . 2 MblFn MblFn MblFn
6950, 66, 68mpbir2and 922 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095  csn 4014   cmpt 4495   cxp 4987   cdm 4989  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523  cc 9493  cr 9494   caddc 9498   cmul 9500   cmin 9810  cneg 9811  cre 12909  cim 12910  cvol 21748  MblFncmbf 21896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-xmet 18286  df-met 18287  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901 This theorem is referenced by:  iblmulc2  22110
 Copyright terms: Public domain W3C validator