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Theorem mbfmulc2 21141
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mbfmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
mbfmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
31, 2mbfdm2 21116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
54recld 12683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
65adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
76recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
81, 2mbfmptcl 21115 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
98recld 12683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
117, 10mulcld 9406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
12 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
14 fconstmpt 4882 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
16 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
173, 6, 9, 15, 16offval2 6336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
184imcld 12684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
1918renegcld 9775 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
218imcld 12684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
22 fconstmpt 4882 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
24 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
253, 20, 21, 23, 24offval2 6336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
263, 11, 13, 17, 25offval2 6336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) ) )
2718adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
2827recnd 9412 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
2921recnd 9412 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
3028, 29mulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3111, 30negsubd 9725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  -u (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
3228, 29mulneg1d 9797 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
3332oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  + 
-u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
344adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3534, 8remuld 12707 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
3631, 33, 353eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
3736mpteq2dva 4378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  +  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) ) )
3826, 37eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( C  x.  B ) ) ) )
398ismbfcn2 21117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
401, 39mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
4140simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
42 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
4310, 42fmptd 5867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
4441, 5, 43mbfmulc2re 21126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
4540simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
46 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4729, 46fmptd 5867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4845, 19, 47mbfmulc2re 21126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4944, 48mbfadd 21139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  e. MblFn )
5038, 49eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
51 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
53 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  e. 
_V
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  _V )
553, 6, 21, 15, 24offval2 6336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
56 fconstmpt 4882 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
583, 27, 9, 57, 16offval2 6336 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
593, 52, 54, 55, 58offval2 6336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) )
6034, 8immuld 12708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6160mpteq2dva 4378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
6259, 61eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( C  x.  B ) ) ) )
6345, 5, 47mbfmulc2re 21126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
6441, 18, 43mbfmulc2re 21126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6563, 64mbfadd 21139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  oF  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  e. MblFn )
6662, 65eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
6734, 8mulcld 9406 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
6867ismbfcn2 21117 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
6950, 66, 68mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   dom cdm 4840   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   CCcc 9280   RRcr 9281    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595   -ucneg 9596   Recre 12586   Imcim 12587   volcvol 20947  MblFncmbf 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-xmet 17810  df-met 17811  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099
This theorem is referenced by:  iblmulc2  21308
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