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Theorem mbfmulc2 19508
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mbfmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
mbfmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
31, 2mbfdm2 19483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
54recld 11954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
65adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
76recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
81, 2mbfmptcl 19482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
98recld 11954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
117, 10mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
12 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
14 fconstmpt 4880 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
16 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
173, 6, 9, 15, 16offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
184imcld 11955 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
1918renegcld 9420 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
218imcld 11955 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
22 fconstmpt 4880 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
24 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
253, 20, 21, 23, 24offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
263, 11, 13, 17, 25offval2 6281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) ) )
2718adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
2827recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
2921recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
3028, 29mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3111, 30negsubd 9373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  -u (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
3228, 29mulneg1d 9442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
3332oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  + 
-u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
344adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3534, 8remuld 11978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
3631, 33, 353eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
3736mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  +  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) ) )
3826, 37eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( C  x.  B ) ) ) )
398ismbfcn2 19484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
401, 39mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
4140simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
42 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
4310, 42fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
4441, 5, 43mbfmulc2re 19493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
4540simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
46 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4729, 46fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4845, 19, 47mbfmulc2re 19493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4944, 48mbfadd 19506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  e. MblFn )
5038, 49eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
51 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
53 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  e. 
_V
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  _V )
553, 6, 21, 15, 24offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
56 fconstmpt 4880 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
583, 27, 9, 57, 16offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
593, 52, 54, 55, 58offval2 6281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) )
6034, 8immuld 11979 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6160mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
6259, 61eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( C  x.  B ) ) ) )
6345, 5, 47mbfmulc2re 19493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
6441, 18, 43mbfmulc2re 19493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6563, 64mbfadd 19506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  e. MblFn )
6662, 65eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
6734, 8mulcld 9064 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
6867ismbfcn2 19484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
6950, 66, 68mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   Recre 11857   Imcim 11858   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  iblmulc2  19675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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