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Theorem mbfmul 22259
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmul  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 22160 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 ffn 5737 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
6 mbfmul.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 22160 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5737 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
11 mbfdm 22161 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
13 mbfdm 22161 . . . 4  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
15 eqid 2457 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
17 eqidd 2458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6546 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
19 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2019simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
21 ffvelrn 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
223, 20, 21syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2319simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
24 ffvelrn 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
258, 23, 24syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
2622, 25remuld 13063 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )
2726mpteq2dva 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
28 inmbl 22078 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
2912, 14, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
30 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
32 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
3422recld 13039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3525recld 13039 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( G `  x ) )  e.  RR )
36 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( F `  x )
) ) )
37 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
3922imcld 13040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
4025imcld 13040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( G `  x ) )  e.  RR )
41 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) ) )
42 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  oF  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4527, 44eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  oF  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
46 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
47 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( F `  x
) )
493feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
5049, 1eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
51 mbfres 22177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5250, 29, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5348, 52syl5eqelr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
5422ismbfcn2 22172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) )
5655simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
57 inss2 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
58 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( G `  x
) )
608feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
6160, 6eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
62 mbfres 22177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
6361, 29, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
6459, 63syl5eqelr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
6525ismbfcn2 22172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
6664, 65mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) )
6766simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
68 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
6934, 68fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
70 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )
7135, 70fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7256, 67, 69, 71mbfmullem 22258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
7355simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
7466simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
75 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
7639, 75fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
77 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )
7840, 77fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7973, 74, 76, 78mbfmullem 22258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8072, 79mbfsub 22195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  oF  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
8145, 80eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8222, 25immuld 13064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
84 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
86 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  oF  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9183, 90eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  oF  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9256, 74, 69, 78mbfmullem 22258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9373, 67, 76, 71mbfmullem 22258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  oF  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9492, 93mbfadd 22194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  oF  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  oF  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
9591, 94eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9622, 25mulcld 9633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
9796ismbfcn2 22172 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn ) ) )
9881, 95, 97mpbir2and 922 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  e. MblFn
)
9918, 98eqeltrd 2545 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   Recre 12942   Imcim 12943   volcvol 22001  MblFncmbf 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-0p 22203
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