MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Unicode version

Theorem mbfmptcl 19482
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbff 19472 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5326 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1110fmpt 5849 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
129, 11sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
1312r19.21bi 2764 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   CCcc 8944  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfss  19491  mbfneg  19495  mbfmulc2  19508  mbflim  19513  itgcnlem  19634  itgcnval  19644  itgre  19645  itgim  19646  iblneg  19647  itgneg  19648  iblss  19649  iblss2  19650  ibladd  19665  iblsub  19666  itgadd  19669  itgsub  19670  itgfsum  19671  iblabs  19673  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgmulc2  19678  itgabs  19679  itgsplit  19680  bddmulibl  19683  itgcn  19687  ditgswap  19699  ditgsplitlem  19700  ftc1a  19874  ibladdnc  26161  itgaddnc  26164  iblsubnc  26165  itgsubnc  26166  iblabsnc  26168  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nc  26172  itgabsnc  26173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-pm 6980  df-mbf 19465
  Copyright terms: Public domain W3C validator