MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Unicode version

Theorem mbfmptcl 21090
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbff 21080 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5330 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1110fmpt 5859 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
129, 11sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
1312r19.21bi 2809 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   -->wf 5409   CCcc 9272  MblFncmbf 21069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-pm 7209  df-mbf 21074
This theorem is referenced by:  mbfss  21099  mbfneg  21103  mbfmulc2  21116  mbflim  21121  itgcnlem  21242  itgcnval  21252  itgre  21253  itgim  21254  iblneg  21255  itgneg  21256  iblss  21257  iblss2  21258  ibladd  21273  iblsub  21274  itgadd  21277  itgsub  21278  itgfsum  21279  iblabs  21281  iblabsr  21282  iblmulc2  21283  itgmulc2  21286  itgabs  21287  itgsplit  21288  bddmulibl  21291  itgcn  21295  ditgswap  21309  ditgsplitlem  21310  ftc1a  21484  ibladdnc  28402  itgaddnc  28405  iblsubnc  28406  itgsubnc  28407  iblabsnc  28409  iblmulc2nc  28410  itgmulc2nc  28413  itgabsnc  28414
  Copyright terms: Public domain W3C validator