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Theorem mbfmcst 28917
Description: A constant function is measurable. Cf. mbfconst 22465 (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmcst.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
mbfmcst.4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
Assertion
Ref Expression
mbfmcst  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mbfmcst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmcst.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
2 mbfmcst.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
32adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. S )  ->  A  e.  U. T )
41, 3fmpt3d 6053 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
5 mbfmcst.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
6 unielsiga 28786 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
8 mbfmcst.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 28786 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
117, 10elmapd 7485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
124, 11mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
13 fconstmpt 4889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  { A }
)  =  ( x  e.  U. S  |->  A )
1413cnveqi 5020 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A )
15 cnvxp 5265 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  ( { A }  X.  U. S )
1614, 15eqtr3i 2451 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  U. S  |->  A )  =  ( { A }  X.  U. S )
1716imaeq1i 5176 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  ( ( { A }  X.  U. S ) "
y )
18 df-ima 4858 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  X.  U. S ) " y
)  =  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )
19 df-rn 4856 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
2017, 18, 193eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
21 df-res 4857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)
22 inxp 4978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)
23 inv1 3786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  i^i  _V )  = 
U. S
2423xpeq2i 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2521, 22, 243eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2625cnveqi 5020 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
2726dmeqi 5047 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
28 cnvxp 5265 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )  =  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
2928dmeqi 5047 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )
3020, 27, 293eqtri 2453 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
31 xpeq2 4860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  ( U. S  X.  (/) ) )
32 xp0 5266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  (/) )  =  (/)
3331, 32syl6eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3433dmeqd 5048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
35 dm0 5059 . . . . . . . . 9  |-  dom  (/)  =  (/)
3634, 35syl6eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3736adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
38 0elsiga 28772 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
398, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
4039adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  S )
4137, 40eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4230, 41syl5eqel 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
43 dmxp 5064 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )  =  U. S )
4443adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  = 
U. S )
4510adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
4644, 45eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4730, 46syl5eqel 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
4842, 47pm2.61dane 2740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
4948ralrimivw 2838 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S )
501cnveqd 5021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A ) )
5150imaeq1d 5178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  =  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y ) )
5251eleq1d 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  S  <->  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5352ralbidv 2862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S  <->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5449, 53mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S )
558, 5ismbfm 28910 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S ) ) )
5612, 54, 55mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078    i^i cin 3432   (/)c0 3758   {csn 3993   U.cuni 4213    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   -->wf 5588  (class class class)co 6296    ^m cmap 7471  sigAlgebracsiga 28765  MblFnMcmbfm 28908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7473  df-siga 28766  df-mbfm 28909
This theorem is referenced by:  sibf0  28992
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