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Theorem mbfmcst 28208
Description: A constant function is measurable. Cf. mbfconst 22020 (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmcst.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
mbfmcst.4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
Assertion
Ref Expression
mbfmcst  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mbfmcst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmcst.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
2 mbfmcst.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. S )  ->  A  e.  U. T )
41, 3fmpt3d 27474 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
5 mbfmcst.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
6 unielsiga 28106 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
8 mbfmcst.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 28106 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
11 elmapg 7435 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
127, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
134, 12mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
14 fconstmpt 5033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  { A }
)  =  ( x  e.  U. S  |->  A )
1514cnveqi 5167 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A )
16 cnvxp 5414 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  ( { A }  X.  U. S )
1715, 16eqtr3i 2474 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  U. S  |->  A )  =  ( { A }  X.  U. S )
1817imaeq1i 5324 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  ( ( { A }  X.  U. S ) "
y )
19 df-ima 5002 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  X.  U. S ) " y
)  =  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )
20 df-rn 5000 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
2118, 19, 203eqtri 2476 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
22 df-res 5001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)
23 inxp 5125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)
24 inv1 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  i^i  _V )  = 
U. S
2524xpeq2i 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2622, 23, 253eqtri 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2726cnveqi 5167 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
2827dmeqi 5194 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
29 cnvxp 5414 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )  =  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
3029dmeqi 5194 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )
3121, 28, 303eqtri 2476 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
32 xpeq2 5004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  ( U. S  X.  (/) ) )
33 xp0 5415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  (/) )  =  (/)
3432, 33syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3534dmeqd 5195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
36 dm0 5206 . . . . . . . . 9  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
39 0elsiga 28092 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
408, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  S )
4238, 41eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4331, 42syl5eqel 2535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
44 dmxp 5211 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )  =  U. S )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  = 
U. S )
4610adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
4745, 46eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4831, 47syl5eqel 2535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
4943, 48pm2.61dane 2761 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
5049ralrimivw 2858 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S )
511cnveqd 5168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A ) )
5251imaeq1d 5326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  =  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y ) )
5352eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  S  <->  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5453ralbidv 2882 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S  <->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5550, 54mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S )
568, 5ismbfm 28201 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S ) ) )
5713, 55, 56mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422  sigAlgebracsiga 28085  MblFnMcmbfm 28199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-siga 28086  df-mbfm 28200
This theorem is referenced by:  sibf0  28254
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