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Theorem mbfmcst 27886
Description: A constant function is measurable. Cf. mbfconst 21793 (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmcst.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
mbfmcst.4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
Assertion
Ref Expression
mbfmcst  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mbfmcst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmcst.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
2 mbfmcst.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. S )  ->  A  e.  U. T )
41, 3fmpt3d 27184 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
5 mbfmcst.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
6 unielsiga 27784 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
8 mbfmcst.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 27784 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
11 elmapg 7433 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
127, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
134, 12mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
14 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  { A }
)  =  ( x  e.  U. S  |->  A )
1514cnveqi 5176 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A )
16 cnvxp 5423 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  ( { A }  X.  U. S )
1715, 16eqtr3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  U. S  |->  A )  =  ( { A }  X.  U. S )
1817imaeq1i 5333 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  ( ( { A }  X.  U. S ) "
y )
19 df-ima 5012 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  X.  U. S ) " y
)  =  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )
20 df-rn 5010 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
2118, 19, 203eqtri 2500 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
22 df-res 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)
23 inxp 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)
24 inv1 3812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  i^i  _V )  = 
U. S
2524xpeq2i 5020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2622, 23, 253eqtri 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2726cnveqi 5176 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
2827dmeqi 5203 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
29 cnvxp 5423 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )  =  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
3029dmeqi 5203 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )
3121, 28, 303eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
32 xpeq2 5014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  ( U. S  X.  (/) ) )
33 xp0 5424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  (/) )  =  (/)
3432, 33syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3534dmeqd 5204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
36 dm0 5215 . . . . . . . . 9  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
39 0elsiga 27770 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
408, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  S )
4238, 41eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4331, 42syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
44 dmxp 5220 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )  =  U. S )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  = 
U. S )
4610adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
4745, 46eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4831, 47syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
4943, 48pm2.61dane 2785 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
5049ralrimivw 2879 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S )
511cnveqd 5177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A ) )
5251imaeq1d 5335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  =  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y ) )
5352eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  S  <->  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5453ralbidv 2903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S  <->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5550, 54mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S )
568, 5ismbfm 27879 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S ) ) )
5713, 55, 56mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5583  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420  sigAlgebracsiga 27763  MblFnMcmbfm 27877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-map 7422  df-siga 27764  df-mbfm 27878
This theorem is referenced by:  sibf0  27932
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