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Theorem mbfmcst 26674
Description: A constant function is measurable. Cf. mbfconst 21113 (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmcst.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmcst.3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
mbfmcst.4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
Assertion
Ref Expression
mbfmcst  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mbfmcst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmcst.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  U. S  |->  A ) )
2 mbfmcst.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U. T
)
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. S )  ->  A  e.  U. T )
41, 3fmpt3d 25973 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
5 mbfmcst.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
6 unielsiga 26571 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
8 mbfmcst.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 26571 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
11 elmapg 7227 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. S  e.  S
)  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
127, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  <->  F : U. S --> U. T ) )
134, 12mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. T  ^m  U. S ) )
14 fconstmpt 4882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  { A }
)  =  ( x  e.  U. S  |->  A )
1514cnveqi 5014 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A )
16 cnvxp 5255 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( U. S  X.  { A } )  =  ( { A }  X.  U. S )
1715, 16eqtr3i 2465 . . . . . . . . 9  |-  `' ( x  e.  U. S  |->  A )  =  ( { A }  X.  U. S )
1817imaeq1i 5166 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  ( ( { A }  X.  U. S ) "
y )
19 df-ima 4853 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  X.  U. S ) " y
)  =  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )
20 df-rn 4851 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
2118, 19, 203eqtri 2467 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )
22 df-res 4852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)
23 inxp 4972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  i^i  (
y  X.  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)
24 inv1 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  i^i  _V )  = 
U. S
2524xpeq2i 4861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  X.  ( U. S  i^i  _V )
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2622, 23, 253eqtri 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y
)  =  ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )
2726cnveqi 5014 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
2827dmeqi 5041 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  X.  U. S )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )
29 cnvxp 5255 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( { A }  i^i  y )  X.  U. S )  =  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
3029dmeqi 5041 . . . . . . 7  |-  dom  `' ( ( { A }  i^i  y )  X. 
U. S )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )
3121, 28, 303eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) "
y )  =  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )
32 xpeq2 4855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  ( U. S  X.  (/) ) )
33 xp0 5256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. S  X.  (/) )  =  (/)
3432, 33syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3534dmeqd 5042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
36 dm0 5053 . . . . . . . . 9  |-  dom  (/)  =  (/)
3735, 36syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  =  (/) )
39 0elsiga 26557 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
408, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  S )
4238, 41eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4331, 42syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
44 dmxp 5058 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y
) )  =  U. S )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  = 
U. S )
4610adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
4745, 46eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. S  X.  ( { A }  i^i  y ) )  e.  S )
4831, 47syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( { A }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
4943, 48pm2.61dane 2689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. S  |->  A ) " y )  e.  S )
5049ralrimivw 2800 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S )
511cnveqd 5015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  U. S  |->  A ) )
5251imaeq1d 5168 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
y )  =  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y ) )
5352eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " y )  e.  S  <->  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5453ralbidv 2735 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S  <->  A. y  e.  T  ( `' ( x  e. 
U. S  |->  A )
" y )  e.  S ) )
5550, 54mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S )
568, 5ismbfm 26667 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. y  e.  T  ( `' F " y )  e.  S ) ) )
5713, 55, 56mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972    i^i cin 3327   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841    |` cres 4842   "cima 4843   -->wf 5414  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214  sigAlgebracsiga 26550  MblFnMcmbfm 26665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-siga 26551  df-mbfm 26666
This theorem is referenced by:  sibf0  26720
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