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Theorem mbfmco2 29160
Description: The pair building of two measurable functions is measurable. ( cf. cnmpt1t 20757). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmco.1  |-  ( ph  ->  R  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco.3  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco2.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RMblFnM
S ) )
mbfmco2.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( RMblFnM
T ) )
mbfmco2.6  |-  H  =  ( x  e.  U. R  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )
Assertion
Ref Expression
mbfmco2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( RMblFnM ( S ×s  T ) ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, S    x, T    ph, x    x, F    x, G    x, H

Proof of Theorem mbfmco2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmco.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  U. ran sigAlgebra )
2 mbfmco.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 mbfmco2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RMblFnM
S ) )
41, 2, 3mbfmf 29150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : U. R --> U. S )
54ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. R )  ->  ( F `  x )  e.  U. S )
6 mbfmco.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
7 mbfmco2.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( RMblFnM
T ) )
81, 6, 7mbfmf 29150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : U. R --> U. T )
98ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. R )  ->  ( G `  x )  e.  U. T )
10 opelxpi 4871 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  U. S  /\  ( G `  x
)  e.  U. T
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( U. S  X.  U. T ) )
115, 9, 10syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. R )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( U. S  X.  U. T ) )
12 sxuni 29089 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
132, 6, 12syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
1413adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. R )  ->  ( U. S  X.  U. T
)  =  U. ( S ×s  T ) )
1511, 14eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. R )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  U. ( S ×s  T ) )
16 mbfmco2.6 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  U. R  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )
1715, 16fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  H : U. R --> U. ( S ×s  T ) )
18 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )  =  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )
19 vex 3034 . . . . . 6  |-  a  e. 
_V
20 vex 3034 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
2119, 20xpex 6614 . . . . 5  |-  ( a  X.  b )  e. 
_V
2218, 21elrnmpt2 6428 . . . 4  |-  ( c  e.  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  T  c  =  ( a  X.  b ) )
23 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
c  =  ( a  X.  b ) )
2423imaeq2d 5174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
( `' H "
c )  =  ( `' H " ( a  X.  b ) ) )
25 simp1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  ->  ph )
26 simp2l 1056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
a  e.  S )
27 simp2r 1057 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
b  e.  T )
284, 8, 16xppreima2 28325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' H "
( a  X.  b
) )  =  ( ( `' F "
a )  i^i  ( `' G " b ) ) )
29283ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  ( `' H " ( a  X.  b ) )  =  ( ( `' F " a )  i^i  ( `' G " b ) ) )
3013ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  R  e.  U.
ran sigAlgebra )
3123ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
3233ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  F  e.  ( RMblFnM S ) )
33 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  a  e.  S )
3430, 31, 32, 33mbfmcnvima 29152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  ( `' F " a )  e.  R )
3563ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  T  e.  U.
ran sigAlgebra )
3673ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  G  e.  ( RMblFnM T ) )
37 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  b  e.  T )
3830, 35, 36, 37mbfmcnvima 29152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  ( `' G " b )  e.  R )
39 inelsiga 29031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  U. ran sigAlgebra  /\  ( `' F " a )  e.  R  /\  ( `' G " b )  e.  R )  -> 
( ( `' F " a )  i^i  ( `' G " b ) )  e.  R )
4030, 34, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  ( ( `' F " a )  i^i  ( `' G " b ) )  e.  R )
4129, 40eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S  /\  b  e.  T
)  ->  ( `' H " ( a  X.  b ) )  e.  R )
4225, 26, 27, 41syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
( `' H "
( a  X.  b
) )  e.  R
)
4324, 42eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T )  /\  c  =  ( a  X.  b ) )  -> 
( `' H "
c )  e.  R
)
44433expia 1233 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  T ) )  -> 
( c  =  ( a  X.  b )  ->  ( `' H " c )  e.  R
) )
4544rexlimdvva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  T  c  =  ( a  X.  b )  ->  ( `' H " c )  e.  R
) )
4645imp 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. a  e.  S  E. b  e.  T  c  =  ( a  X.  b
) )  ->  ( `' H " c )  e.  R )
4722, 46sylan2b 483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b
) ) )  -> 
( `' H "
c )  e.  R
)
4847ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. c  e.  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b
) ) ( `' H " c )  e.  R )
49 eqid 2471 . . . . 5  |-  ran  (
a  e.  S , 
b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )  =  ran  (
a  e.  S , 
b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )
5049txbasex 20658 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  ->  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b
) )  e.  _V )
512, 6, 50syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) )  e. 
_V )
5249sxval 29086 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  =  (sigaGen `  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) ) ) )
532, 6, 52syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  =  (sigaGen `  ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) ) ) )
5451, 1, 53imambfm 29157 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ( RMblFnM ( S ×s  T ) )  <->  ( H : U. R --> U. ( S ×s  T )  /\  A. c  e. 
ran  ( a  e.  S ,  b  e.  T  |->  ( a  X.  b ) ) ( `' H " c )  e.  R ) ) )
5517, 48, 54mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  H  e.  ( RMblFnM ( S ×s  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310  sigAlgebracsiga 29003  sigaGencsigagen 29034   ×s csx 29084  MblFnMcmbfm 29145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-siga 29004  df-sigagen 29035  df-sx 29085  df-mbfm 29146
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