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Theorem mbfmco 27875
Description: The composition of two measurable functions is measurable. ( cf. cnmpt11 19899) (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmco.1  |-  ( ph  ->  R  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco.2  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco.3  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
mbfmco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RMblFnM
S ) )
mbfmco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( SMblFnM
T ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( RMblFnM
T ) )

Proof of Theorem mbfmco
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmco.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
2 mbfmco.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
3 mbfmco.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( SMblFnM
T ) )
41, 2, 3mbfmf 27866 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : U. S --> U. T )
5 mbfmco.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  U. ran sigAlgebra )
6 mbfmco.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( RMblFnM
S ) )
75, 1, 6mbfmf 27866 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : U. R --> U. S )
8 fco 5739 . . . 4  |-  ( ( G : U. S --> U. T  /\  F : U. R --> U. S )  -> 
( G  o.  F
) : U. R --> U. T )
94, 7, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : U. R --> U. T )
10 unielsiga 27768 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
112, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
12 unielsiga 27768 . . . . 5  |-  ( R  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. R  e.  R )
135, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. R  e.  R
)
14 elmapg 7430 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. R  e.  R
)  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. T  ^m  U. R )  <->  ( G  o.  F ) : U. R
--> U. T ) )
1511, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. T  ^m  U. R )  <->  ( G  o.  F ) : U. R
--> U. T ) )
169, 15mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. T  ^m  U. R ) )
17 cnvco 5186 . . . . . 6  |-  `' ( G  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' G )
1817imaeq1i 5332 . . . . 5  |-  ( `' ( G  o.  F
) " a )  =  ( ( `' F  o.  `' G
) " a )
19 imaco 5510 . . . . 5  |-  ( ( `' F  o.  `' G ) " a
)  =  ( `' F " ( `' G " a ) )
2018, 19eqtri 2496 . . . 4  |-  ( `' ( G  o.  F
) " a )  =  ( `' F " ( `' G "
a ) )
215adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  R  e.  U. ran sigAlgebra )
221adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
236adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  F  e.  ( RMblFnM S ) )
242adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
253adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  G  e.  ( SMblFnM T ) )
26 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  e.  T )
2722, 24, 25, 26mbfmcnvima 27868 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' G " a )  e.  S )
2821, 22, 23, 27mbfmcnvima 27868 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' F " ( `' G " a ) )  e.  R )
2920, 28syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( G  o.  F ) " a
)  e.  R )
3029ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  ( `' ( G  o.  F ) " a
)  e.  R )
315, 2ismbfm 27863 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( RMblFnM T )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. T  ^m  U. R )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( G  o.  F ) " a
)  e.  R ) ) )
3216, 30, 31mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( RMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5582  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417  sigAlgebracsiga 27747  MblFnMcmbfm 27861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-siga 27748  df-mbfm 27862
This theorem is referenced by:  rrvadd  28031  rrvmulc  28032
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