Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Unicode version

Theorem mbfmcnt 28929
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 28791 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2 elrnsiga 28787 . . . . . 6  |-  ( ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
4 brsigarn 28845 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
5 elrnsiga 28787 . . . . . 6  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
64, 5mp1i 13 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
73, 6ismbfm 28913 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
8 unibrsiga 28847 . . . . . . . . . 10  |-  U.𝔅  =  RR
9 reex 9629 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
108, 9eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  U.𝔅  e.  _V
11 unipw 4672 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P O  =  O
12 elex 3096 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. ~P O  e.  _V )
14 elmapg 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U.𝔅  e.  _V  /\  U. ~P O  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <-> 
f : U. ~P O
--> U.𝔅
) )
1510, 13, 14sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : U. ~P O --> U.𝔅
) )
1611feq2i 5739 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. ~P O --> U.𝔅  <->  f : O --> U.𝔅
)
1715, 16syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : O
--> U.𝔅
) )
18 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( f : O --> U.𝔅  ->  f  Fn  O )
1917, 18syl6bi 231 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  f  Fn  O ) )
20 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  <-> 
( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x ) ) )
21 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x )  ->  y  e.  O
)
2220, 21syl6bi 231 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  ->  y  e.  O
) )
2322ssrdv 3476 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  C_  O )
24 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
2524cnvex 6754 . . . . . . . . . 10  |-  `' f  e.  _V
26 imaexg 6744 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " x
)  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x )  e.  _V
2827elpw 3991 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' f " x
)  e.  ~P O  <->  ( `' f " x
)  C_  O )
2923, 28sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3029ralrimivw 2847 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  O  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3119, 30syl6 34 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) )
3231pm4.71d 638 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
337, 32bitr4d 259 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) ) )
3433eqrdv 2426 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) )
358, 11oveq12i 6317 . 2  |-  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  =  ( RR  ^m  O )
3634, 35syl6eq 2486 1  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   `'ccnv 4853   ran crn 4855   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   RRcr 9537  sigAlgebracsiga 28768  𝔅cbrsiga 28842  MblFnMcmbfm 28911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-ioo 11639  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-siga 28769  df-sigagen 28800  df-brsiga 28843  df-mbfm 28912
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator