Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Unicode version

Theorem mbfmcnt 29104
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 28966 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2 elrnsiga 28962 . . . . . 6  |-  ( ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
4 brsigarn 29020 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
5 elrnsiga 28962 . . . . . 6  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
64, 5mp1i 13 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
73, 6ismbfm 29088 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
8 unibrsiga 29022 . . . . . . . . . 10  |-  U.𝔅  =  RR
9 reex 9643 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
108, 9eqeltri 2508 . . . . . . . . 9  |-  U.𝔅  e.  _V
11 unipw 4677 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P O  =  O
12 elex 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. ~P O  e.  _V )
14 elmapg 7502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U.𝔅  e.  _V  /\  U. ~P O  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <-> 
f : U. ~P O
--> U.𝔅
) )
1510, 13, 14sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : U. ~P O --> U.𝔅
) )
1611feq2i 5745 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. ~P O --> U.𝔅  <->  f : O --> U.𝔅
)
1715, 16syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : O
--> U.𝔅
) )
18 ffn 5752 . . . . . . 7  |-  ( f : O --> U.𝔅  ->  f  Fn  O )
1917, 18syl6bi 232 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  f  Fn  O ) )
20 elpreima 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  <-> 
( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x ) ) )
21 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x )  ->  y  e.  O
)
2220, 21syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  ->  y  e.  O
) )
2322ssrdv 3476 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  C_  O )
24 vex 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
2524cnvex 6760 . . . . . . . . . 10  |-  `' f  e.  _V
26 imaexg 6750 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " x
)  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x )  e.  _V
2827elpw 3993 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' f " x
)  e.  ~P O  <->  ( `' f " x
)  C_  O )
2923, 28sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3029ralrimivw 2842 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  O  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3119, 30syl6 35 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) )
3231pm4.71d 639 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
337, 32bitr4d 260 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) ) )
3433eqrdv 2420 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) )
358, 11oveq12i 6323 . 2  |-  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  =  ( RR  ^m  O )
3634, 35syl6eq 2480 1  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1873   A.wral 2776   _Vcvv 3085    C_ wss 3442   ~Pcpw 3987   U.cuni 4225   `'ccnv 4858   ran crn 4860   "cima 4862    Fn wfn 5602   -->wf 5603   ` cfv 5607  (class class class)co 6311    ^m cmap 7489   RRcr 9551  sigAlgebracsiga 28943  𝔅cbrsiga 29017  MblFnMcmbfm 29086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-er 7380  df-map 7491  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-ioo 11652  df-topgen 15347  df-top 19925  df-bases 19926  df-siga 28944  df-sigagen 28975  df-brsiga 29018  df-mbfm 29087
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator