Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Unicode version

Theorem mbfmcnt 26681
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 26571 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2 elrnsiga 26567 . . . . . 6  |-  ( ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
4 brsigarn 26596 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
5 elrnsiga 26567 . . . . . 6  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
64, 5mp1i 12 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
73, 6ismbfm 26665 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
8 unibrsiga 26598 . . . . . . . . . 10  |-  U.𝔅  =  RR
9 reex 9371 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
108, 9eqeltri 2511 . . . . . . . . 9  |-  U.𝔅  e.  _V
11 unipw 4540 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P O  =  O
12 elex 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. ~P O  e.  _V )
14 elmapg 7225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U.𝔅  e.  _V  /\  U. ~P O  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <-> 
f : U. ~P O
--> U.𝔅
) )
1510, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : U. ~P O --> U.𝔅
) )
1611feq2i 5550 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. ~P O --> U.𝔅  <->  f : O --> U.𝔅
)
1715, 16syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : O
--> U.𝔅
) )
18 ffn 5557 . . . . . . 7  |-  ( f : O --> U.𝔅  ->  f  Fn  O )
1917, 18syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  f  Fn  O ) )
20 elpreima 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  <-> 
( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x ) ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x )  ->  y  e.  O
)
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  ->  y  e.  O
) )
2322ssrdv 3360 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  C_  O )
24 vex 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
2524cnvex 6523 . . . . . . . . . 10  |-  `' f  e.  _V
26 imaexg 6513 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " x
)  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x )  e.  _V
2827elpw 3864 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' f " x
)  e.  ~P O  <->  ( `' f " x
)  C_  O )
2923, 28sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3029ralrimivw 2798 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  O  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3119, 30syl6 33 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) )
3231pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
337, 32bitr4d 256 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) ) )
3433eqrdv 2439 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) )
358, 11oveq12i 6101 . 2  |-  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  =  ( RR  ^m  O )
3634, 35syl6eq 2489 1  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   U.cuni 4089   `'ccnv 4837   ran crn 4839   "cima 4841    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   RRcr 9279  sigAlgebracsiga 26548  𝔅cbrsiga 26593  MblFnMcmbfm 26663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-ioo 11302  df-topgen 14380  df-top 18501  df-bases 18503  df-siga 26549  df-sigagen 26580  df-brsiga 26594  df-mbfm 26664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator