Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmcnt Structured version   Unicode version

Theorem mbfmcnt 27907
Description: All functions are measurable with respect to the counting measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmcnt  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )

Proof of Theorem mbfmcnt
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsiga 27798 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
) )
2 elrnsiga 27794 . . . . . 6  |-  ( ~P O  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  ~P O  e.  U. ran sigAlgebra )
4 brsigarn 27823 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
5 elrnsiga 27794 . . . . . 6  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
64, 5mp1i 12 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
73, 6ismbfm 27891 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
8 unibrsiga 27825 . . . . . . . . . 10  |-  U.𝔅  =  RR
9 reex 9583 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
108, 9eqeltri 2551 . . . . . . . . 9  |-  U.𝔅  e.  _V
11 unipw 4697 . . . . . . . . . 10  |-  U. ~P O  =  O
12 elex 3122 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
1311, 12syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. ~P O  e.  _V )
14 elmapg 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U.𝔅  e.  _V  /\  U. ~P O  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <-> 
f : U. ~P O
--> U.𝔅
) )
1510, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : U. ~P O --> U.𝔅
) )
1611feq2i 5724 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. ~P O --> U.𝔅  <->  f : O --> U.𝔅
)
1715, 16syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  f : O
--> U.𝔅
) )
18 ffn 5731 . . . . . . 7  |-  ( f : O --> U.𝔅  ->  f  Fn  O )
1917, 18syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  f  Fn  O ) )
20 elpreima 6001 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  <-> 
( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x ) ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  O  /\  ( f `  y
)  e.  x )  ->  y  e.  O
)
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  O  ->  (
y  e.  ( `' f " x )  ->  y  e.  O
) )
2322ssrdv 3510 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  C_  O )
24 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
2524cnvex 6731 . . . . . . . . . 10  |-  `' f  e.  _V
26 imaexg 6721 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' f  e.  _V  ->  ( `' f " x
)  e.  _V )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x )  e.  _V
2827elpw 4016 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' f " x
)  e.  ~P O  <->  ( `' f " x
)  C_  O )
2923, 28sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  O  ->  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3029ralrimivw 2879 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  O  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
)
3119, 30syl6 33 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  ->  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) )
3231pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  <->  ( f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  /\  A. x  e. 𝔅  ( `' f " x
)  e.  ~P O
) ) )
337, 32bitr4d 256 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (
f  e.  ( ~P OMblFnM𝔅 ) 
<->  f  e.  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) ) )
3433eqrdv 2464 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O ) )
358, 11oveq12i 6296 . 2  |-  ( U.𝔅  ^m  U. ~P O )  =  ( RR  ^m  O )
3634, 35syl6eq 2524 1  |-  ( O  e.  V  ->  ( ~P OMblFnM𝔅 )  =  ( RR  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   RRcr 9491  sigAlgebracsiga 27775  𝔅cbrsiga 27820  MblFnMcmbfm 27889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ioo 11533  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-siga 27776  df-sigagen 27807  df-brsiga 27821  df-mbfm 27890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator