MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmax Structured version   Unicode version

Theorem mbfmax 21139
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
21ffvelrnda 5855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
3 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43ffvelrnda 5855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5 ifcl 3843 . . . 4  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
7 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
86, 7fmptd 5879 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
93adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
109ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1110rexrd 9445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
1312ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1413rexrd 9445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
16 xrmaxle 11167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
19 ianor 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
21 pnfxr 11104 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
22 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
2315, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
24 3anan12 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  < +oo ) ) )
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
26 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
27 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
2826, 27breq12d 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
2928, 27, 26ifbieq12d 3828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
30 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
31 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3230, 31ifex 3870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3329, 7, 32fvmpt 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3534eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
36 ifcl 3843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
3713, 10, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
38 ltpnf 11114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
3937, 38jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
)
4039biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
4125, 35, 403bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4237rexrd 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
43 xrltnle 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4415, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
4541, 44bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
46 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
4715, 21, 46sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
48 3anan12 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) )
4947, 48syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
50 ltpnf 11114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  < +oo )
5110, 50jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  < +oo ) )
5251biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
53 xrltnle 9455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5415, 11, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5549, 52, 543bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
56 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
5715, 21, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
58 3anan12 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) )
5957, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
60 ltpnf 11114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  < +oo )
6113, 60jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  < +oo ) )
6261biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
63 xrltnle 9455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6415, 14, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6559, 62, 643bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6655, 65orbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( -.  ( F `
 z )  <_ 
y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
6720, 45, 663bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
6867pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
69 andi 862 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7068, 69syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
71 ffn 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
728, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
7372adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
74 elpreima 5835 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
76 ffn 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
779, 76syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
78 elpreima 5835 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
80 ffn 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
8112, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
82 elpreima 5835 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8479, 83orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8570, 75, 843bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) ) )
86 elun 3509 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) )
8785, 86syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8887eqrdv 2441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) )
89 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
90 mbfima 21122 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9189, 3, 90syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
92 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
93 mbfima 21122 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9492, 1, 93syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
95 unmbl 21031 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9691, 94, 95syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9796adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9888, 97eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
99 xrmaxlt 11165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
10011, 14, 15, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
101 mnfxr 11106 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
102 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
103101, 15, 102sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
104 df-3an 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
105103, 104syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10634eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
107 mnflt 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  -> -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
10837, 107jccir 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
109108biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
110105, 106, 1093bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
111 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
112101, 15, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
113 df-3an 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
114112, 113syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
115 mnflt 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( F `  z ) )
11610, 115jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) ) )
117116biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
118114, 117bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
119 elioo2 11353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
120101, 15, 119sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
121 df-3an 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
122120, 121syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
123 mnflt 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( G `  z ) )
12413, 123jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) ) )
125124biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
126122, 125bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
127118, 126anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `
 z )  < 
y  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
128100, 110, 1273bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
129128pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) ) )
130 anandi 824 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
131129, 130syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
132 elpreima 5835 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13373, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
134 elpreima 5835 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13577, 134syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
136 elpreima 5835 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13781, 136syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
138135, 137anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
139131, 133, 1383bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) ) )
140 elin 3551 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) )
141139, 140syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) ) )
142141eqrdv 2441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) )
143 mbfima 21122 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14489, 3, 143syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
145 mbfima 21122 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14692, 1, 145syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
147 inmbl 21035 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
148144, 146, 147syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
149148adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
150142, 149eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1518, 98, 150ismbfd 21130 1  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3338    i^i cin 3339   ifcif 3803   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   "cima 4855    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   +oocpnf 9427   -oocmnf 9428   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   (,)cioo 11312   volcvol 20959  MblFncmbf 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xadd 11102  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-xmet 17822  df-met 17823  df-ovol 20960  df-vol 20961  df-mbf 21111
This theorem is referenced by:  mbfpos  21141
  Copyright terms: Public domain W3C validator