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Theorem mbfmax 22482
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
21ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
3 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
52, 4ifcld 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
6 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
75, 6fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
83adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
98ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
109rexrd 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
111adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
1211ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1312rexrd 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
14 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
15 xrmaxle 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1610, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1716notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
18 ianor 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
1917, 18syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
20 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
21 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
2214, 20, 21sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
23 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  < +oo ) ) )
2422, 23syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
25 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
26 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
2725, 26breq12d 4439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
2827, 26, 25ifbieq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
29 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
30 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3129, 30ifex 3983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3228, 6, 31fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3433eleq1d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
3512, 9ifcld 3958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
36 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
3735, 36jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
)
3837biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
3924, 34, 383bitr4d 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4035rexrd 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
41 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4214, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
4339, 42bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
44 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
4514, 20, 44sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
46 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) )
4745, 46syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
48 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  < +oo )
499, 48jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  < +oo ) )
5049biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
51 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5214, 10, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5347, 50, 523bitr2d 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
54 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
5514, 20, 54sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
56 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) )
5755, 56syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
58 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  < +oo )
5912, 58jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  < +oo ) )
6059biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
61 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6214, 13, 61syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6357, 60, 623bitr2d 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6453, 63orbi12d 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( -.  ( F `
 z )  <_ 
y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
6519, 43, 643bitr4d 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
6665pm5.32da 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
67 andi 875 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
6866, 67syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
69 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
707, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
7170adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
72 elpreima 6017 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
74 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
758, 74syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
76 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
78 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
7911, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
80 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8277, 81orbi12d 714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8368, 73, 823bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) ) )
84 elun 3612 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) )
8583, 84syl6bbr 266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8685eqrdv 2426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) )
87 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
88 mbfima 22465 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
8987, 3, 88syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
90 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
91 mbfima 22465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9290, 1, 91syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
93 unmbl 22368 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9489, 92, 93syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9594adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9686, 95eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
97 xrmaxlt 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
9810, 13, 14, 97syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
99 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
100 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10199, 14, 100sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
102 df-3an 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
103101, 102syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10433eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
105 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  -> -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
10635, 105jccir 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
107106biantrurd 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
108103, 104, 1073bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
109 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
11099, 14, 109sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
111 df-3an 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
112110, 111syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
113 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( F `  z ) )
1149, 113jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) ) )
115114biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
116112, 115bitr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
117 elioo2 11677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
11899, 14, 117sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
119 df-3an 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
120118, 119syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
121 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( G `  z ) )
12212, 121jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) ) )
123122biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
124120, 123bitr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
125116, 124anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `
 z )  < 
y  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
12698, 108, 1253bitr4d 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
127126pm5.32da 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) ) )
128 anandi 835 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
129127, 128syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
130 elpreima 6017 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13171, 130syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
132 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13375, 132syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
134 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13579, 134syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
136133, 135anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
137129, 131, 1363bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) ) )
138 elin 3655 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) )
139137, 138syl6bbr 266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) ) )
140139eqrdv 2426 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) )
141 mbfima 22465 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14287, 3, 141syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
143 mbfima 22465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14490, 1, 143syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
145 inmbl 22372 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
146142, 144, 145syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
147146adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
148140, 147eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1497, 96, 148ismbfd 22473 1  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440    i^i cin 3441   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   (,)cioo 11635   volcvol 22295  MblFncmbf 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454
This theorem is referenced by:  mbfpos  22484
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