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Theorem mbfmax 22540
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
21ffvelrnda 5974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
3 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43ffvelrnda 5974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
52, 4ifcld 3890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
6 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
75, 6fmptd 5998 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
83adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
98ffvelrnda 5974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
109rexrd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
111adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
1211ffvelrnda 5974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1312rexrd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
14 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
15 xrmaxle 11422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1610, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1716notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
18 ianor 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
1917, 18syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
20 pnfxr 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
21 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
2214, 20, 21sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
23 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  < +oo ) ) )
2422, 23syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
25 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
26 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
2725, 26breq12d 4372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
2827, 26, 25ifbieq12d 3874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
29 fvex 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
30 fvex 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3129, 30ifex 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3228, 6, 31fvmpt 5901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3433eleq1d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
3512, 9ifcld 3890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
36 ltpnf 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
3735, 36jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
)
3837biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
3924, 34, 383bitr4d 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4035rexrd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
41 xrltnle 9645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4214, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
4339, 42bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
44 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
4514, 20, 44sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
46 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) )
4745, 46syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
48 ltpnf 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  < +oo )
499, 48jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  < +oo ) )
5049biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
51 xrltnle 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5214, 10, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5347, 50, 523bitr2d 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
54 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
5514, 20, 54sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
56 3anan12 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) )
5755, 56syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
58 ltpnf 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  < +oo )
5912, 58jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  < +oo ) )
6059biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
61 xrltnle 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6214, 13, 61syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6357, 60, 623bitr2d 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6453, 63orbi12d 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( -.  ( F `
 z )  <_ 
y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
6519, 43, 643bitr4d 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
6665pm5.32da 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
67 andi 875 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
6866, 67syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
69 ffn 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
707, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
7170adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
72 elpreima 5954 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
74 ffn 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
758, 74syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
76 elpreima 5954 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
78 ffn 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
7911, 78syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
80 elpreima 5954 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8277, 81orbi12d 714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8368, 73, 823bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) ) )
84 elun 3542 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) )
8583, 84syl6bbr 266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8685eqrdv 2420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) )
87 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
88 mbfima 22523 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
8987, 3, 88syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
90 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
91 mbfima 22523 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9290, 1, 91syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
93 unmbl 22426 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9489, 92, 93syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9594adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9686, 95eqeltrd 2500 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
97 xrmaxlt 11420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
9810, 13, 14, 97syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
99 mnfxr 11358 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
100 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10199, 14, 100sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
102 df-3an 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
103101, 102syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10433eleq1d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
105 mnflt 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  -> -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
10635, 105jccir 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
107106biantrurd 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
108103, 104, 1073bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
109 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
11099, 14, 109sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
111 df-3an 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
112110, 111syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
113 mnflt 11369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( F `  z ) )
1149, 113jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) ) )
115114biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
116112, 115bitr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
117 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
11899, 14, 117sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
119 df-3an 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
120118, 119syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
121 mnflt 11369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( G `  z ) )
12212, 121jccir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) ) )
123122biantrurd 510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
124120, 123bitr4d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
125116, 124anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `
 z )  < 
y  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
12698, 108, 1253bitr4d 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
127126pm5.32da 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) ) )
128 anandi 835 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
129127, 128syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
130 elpreima 5954 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13171, 130syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
132 elpreima 5954 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13375, 132syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
134 elpreima 5954 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13579, 134syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
136133, 135anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
137129, 131, 1363bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) ) )
138 elin 3585 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) )
139137, 138syl6bbr 266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) ) )
140139eqrdv 2420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) )
141 mbfima 22523 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14287, 3, 141syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
143 mbfima 22523 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14490, 1, 143syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
145 inmbl 22430 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
146142, 144, 145syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
147146adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
148140, 147eqeltrd 2500 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1497, 96, 148ismbfd 22531 1  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3370    i^i cin 3371   ifcif 3847   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   `'ccnv 4788   dom cdm 4789   "cima 4792    Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   RRcr 9482   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11579   volcvol 22350  MblFncmbf 22507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xadd 11354  df-ioo 11583  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-clim 13488  df-sum 13689  df-xmet 18899  df-met 18900  df-ovol 22351  df-vol 22353  df-mbf 22512
This theorem is referenced by:  mbfpos  22542
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