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Theorem mbfmax 21819
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
21ffvelrnda 6021 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
3 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43ffvelrnda 6021 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5 ifcl 3981 . . . 4  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
7 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
86, 7fmptd 6045 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
93adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
109ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1110rexrd 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
1312ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1413rexrd 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
16 xrmaxle 11384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
19 ianor 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
21 pnfxr 11321 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
22 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
2315, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) )
24 3anan12 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  < +oo ) ) )
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
26 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
27 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
2826, 27breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
2928, 27, 26ifbieq12d 3966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
30 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
31 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3230, 31ifex 4008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3329, 7, 32fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3534eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
36 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
3713, 10, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
38 ltpnf 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
3937, 38jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
)
4039biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < +oo )
) ) )
4125, 35, 403bitr4d 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4237rexrd 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
43 xrltnle 9653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4415, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
4541, 44bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
46 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
4715, 21, 46sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  < +oo ) ) )
48 3anan12 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) )
4947, 48syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
50 ltpnf 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  < +oo )
5110, 50jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  < +oo ) )
5251biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < +oo ) ) ) )
53 xrltnle 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5415, 11, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5549, 52, 543bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
56 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
5715, 21, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  < +oo ) ) )
58 3anan12 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  < +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) )
5957, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
60 ltpnf 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  < +oo )
6113, 60jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  < +oo ) )
6261biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  < +oo ) ) ) )
63 xrltnle 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6415, 14, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6559, 62, 643bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6655, 65orbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) )  <-> 
( -.  ( F `
 z )  <_ 
y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
6720, 45, 663bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
6867pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
69 andi 865 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7068, 69syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
71 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
728, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
7372adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
74 elpreima 6001 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( H `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
76 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
779, 76syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
78 elpreima 6001 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( F `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
80 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
8112, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
82 elpreima 6001 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
8479, 83orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8570, 75, 843bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) ) )
86 elun 3645 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,) +oo ) ) ) )
8785, 86syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,) +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) ) )
8887eqrdv 2464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) ) )
89 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
90 mbfima 21802 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9189, 3, 90syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
92 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
93 mbfima 21802 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9492, 1, 93syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
95 unmbl 21711 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9691, 94, 95syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9796adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,) +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9888, 97eqeltrd 2555 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
99 xrmaxlt 11382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
10011, 14, 15, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
101 mnfxr 11323 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
102 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
103101, 15, 102sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
104 df-3an 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
105103, 104syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10634eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
107 mnflt 11333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  -> -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
10837, 107jccir 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
109108biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\ -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
110105, 106, 1093bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
111 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
112101, 15, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
113 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
114112, 113syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
115 mnflt 11333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( F `  z ) )
11610, 115jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) ) )
117116biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
118114, 117bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
119 elioo2 11570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
120101, 15, 119sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\ -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
121 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
122120, 121syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
123 mnflt 11333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  -> -oo  <  ( G `  z ) )
12413, 123jccir 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) ) )
125124biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\ -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
126122, 125bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
127118, 126anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `
 z )  < 
y  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
128100, 110, 1273bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
129128pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) ) )
130 anandi 826 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
131129, 130syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
132 elpreima 6001 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13373, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
134 elpreima 6001 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13577, 134syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
136 elpreima 6001 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
13781, 136syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) ) ) )
138135, 137anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) ) )
139131, 133, 1383bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) ) )
140 elin 3687 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) ) )
141139, 140syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) ) )
142141eqrdv 2464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) ) )
143 mbfima 21802 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14489, 3, 143syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
145 mbfima 21802 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
14692, 1, 145syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
147 inmbl 21715 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
148144, 146, 147syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
149148adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
150142, 149eqeltrd 2555 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1518, 98, 150ismbfd 21810 1  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    i^i cin 3475   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   +oocpnf 9625   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,)cioo 11529   volcvol 21638  MblFncmbf 21786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791
This theorem is referenced by:  mbfpos  21821
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