Theorem mbflimsupOLD 22703

Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) Obsolete version of mbflimsup 22702 as of 12-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflimsupOLD.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
mbflimsupOLD.2	|- G = ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
mbflimsupOLD.h	|- H = ( m e. RR |-> sup ( ( ( ( n e. Z |-> B ) " ( m [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
mbflimsupOLD.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
mbflimsupOLD.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR )
mbflimsupOLD.5	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbflimsupOLD.6	|- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
mbflimsupOLD	|- ( ph -> G e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, n, A   B, m   ph, n, x   m, M   m, n, x, Z

Allowed substitution hints:   ph( m)   A( m)   B( x, n)   G( x, m, n)   H( x, m, n)   M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsupOLD

Dummy variables i k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflimsupOLD.2	. . 3 |- G = ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
2		mbflimsupOLD.h	. . . . . 6 |- H = ( m e. RR |-> sup ( ( ( ( n e. Z |-> B ) " ( m [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
3		mbflimsupOLD.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2545	. . . . . . . 8 |- Z e. _V
6	5	mptex 6152	. . . . . . 7 |- ( n e. Z |-> B ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) e. _V )
8		uzssz 11202	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
9	3, 8	eqsstri 3448	. . . . . . . 8 |- Z C_ ZZ
10		zssre 10968	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
11	9, 10	sstri 3427	. . . . . . 7 |- Z C_ RR
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Z C_ RR )
13		mbflimsupOLD.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
14	3	uzsup 12123	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
16	15	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
17	2, 7, 12, 16	limsupval2OLD 13618	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) = sup ( ( H " Z ) , RR* , `' < ) )
18		imassrn 5185	. . . . . . 7 |- ( H " Z ) C_ ran H
19	13	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. ZZ )
20		mbflimsupOLD.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
21	20	anass1rs 824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR )
22		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
23	21, 22	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR )
24		mbflimsupOLD.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR )
25		ltpnf 11445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) < +oo )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) < +oo )
27	2, 3	limsupgreOLD 13620	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) < +oo ) -> H : RR --> RR )
28	19, 23, 26, 27	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : RR --> RR )
29		frn 5747	. . . . . . . 8 |- ( H : RR --> RR -> ran H C_ RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran H C_ RR )
31	18, 30	syl5ss 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) C_ RR )
32		fdm 5745	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : RR --> RR -> dom H = RR )
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom H = RR )
34	33	ineq1d 3624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) = ( RR i^i Z ) )
35		dfss1 3628	. . . . . . . . . 10 |- ( Z C_ RR <-> ( RR i^i Z ) = Z )
36	11, 35	mpbi 213	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i Z ) = Z
37	34, 36	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) = Z )
38		uzid 11197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
39	13, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
40	39, 3	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Z )
41	40	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. Z )
42		ne0i 3728	. . . . . . . . 9 |- ( M e. Z -> Z =/= (/) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Z =/= (/) )
44	37, 43	eqnetrd 2710	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( dom H i^i Z ) =/= (/) )
45		imadisj 5193	. . . . . . . 8 |- ( ( H " Z ) = (/) <-> ( dom H i^i Z ) = (/) )
46	45	necon3bii 2695	. . . . . . 7 |- ( ( H " Z ) =/= (/) <-> ( dom H i^i Z ) =/= (/) )
47	44, 46	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) =/= (/) )
48	24	leidd 10201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) )
49	21	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR* )
50	49, 22	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* )
51	24	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* )
52	2	limsupleOLD 13614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
53	12, 50, 51, 52	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
54	48, 53	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) )
55		ssralv 3479	. . . . . . . . 9 |- ( Z C_ RR -> ( A. y e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) -> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
56	11, 54, 55	mpsyl 64	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) )
57	2	limsupgf 13610	. . . . . . . . . 10 |- H : RR --> RR*
58		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( H : RR --> RR* -> H Fn RR )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- H Fn RR
60		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` y ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
61	60	ralima 6163	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn RR /\ Z C_ RR ) -> ( A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
62	59, 12, 61	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z <-> A. y e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` y ) ) )
63	56, 62	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z )
64		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( y <_ z <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) )
65	64	ralbidv 2829	. . . . . . . 8 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( A. z e. ( H " Z ) y <_ z <-> A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) )
66	65	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR /\ A. z e. ( H " Z ) ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ z ) -> E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z )
67	24, 63, 66	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z )
68		infmxrreOLD 11651	. . . . . 6 |- ( ( ( H " Z ) C_ RR /\ ( H " Z ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ( H " Z ) y <_ z ) -> sup ( ( H " Z ) , RR* , `' < ) = sup ( ( H " Z ) , RR , `' < ) )
69	31, 47, 67, 68	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( ( H " Z ) , RR* , `' < ) = sup ( ( H " Z ) , RR , `' < ) )
70		df-ima 4852	. . . . . . 7 |- ( H " Z ) = ran ( H |` Z )
71	28	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H = ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) )
72	71	reseq1d 5110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) )
73		resmpt 5160	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z C_ RR -> ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) )
74	11, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. RR |-> ( H ` i ) ) |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) )
75	72, 74	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) )
76		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ph )
77	3	uztrn2 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
78	77	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
79		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> x e. A )
80	76, 78, 79, 20	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> B e. RR )
81		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B )
82	80, 81	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR )
83		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
85	84	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR )
86	81, 80	dmmptd 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = ( ZZ>= ` i ) )
87		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
88	87, 3	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
89		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> i e. ZZ )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
91	90	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. ZZ )
92		uzid 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ZZ -> i e. ( ZZ>= ` i ) )
93		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( ZZ>= ` i ) -> ( ZZ>= ` i ) =/= (/) )
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) =/= (/) )
95	86, 94	eqnetrd 2710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
96		dm0rn0 5057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = (/) <-> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) = (/) )
97	96	necon3bii 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) <-> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
98	95, 97	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
99	98	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) )
100	11	sseli 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. Z -> i e. RR )
101		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( H : RR --> RR /\ i e. RR ) -> ( H ` i ) e. RR )
102	28, 100, 101	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) e. RR )
103	88	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
104		uzss 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
106	105, 3	syl6sseqr 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ Z )
107	102	leidd 10201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) <_ ( H ` i ) )
108	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> Z C_ RR )
109	50	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* )
110		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. Z )
111	11, 110	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> i e. RR )
112	102	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) e. RR* )
113	2	limsupgle 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* ) /\ i e. RR /\ ( H ` i ) e. RR* ) -> ( ( H ` i ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
114	108, 109, 111, 112, 113	syl211anc 1298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( H ` i ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
115	107, 114	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
116		ssralv 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` i ) C_ Z -> ( A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
117	106, 115, 116	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
118	106	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ZZ>= ` i ) C_ Z )
119	118	resmptd 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
120	119	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) )
121		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( ZZ>= ` i ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
122	121	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) |` ( ZZ>= ` i ) ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
123	120, 122	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
124	123	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
125		eluzle 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( ZZ>= ` i ) -> i <_ k )
126	125	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> i <_ k )
127		biimt 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i <_ k -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
129	124, 128	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
130	129	ralbidva 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) ) )
131	117, 130	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) )
132		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) )
133		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) -> ( z <_ ( H ` i ) <-> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
134	133	ralrn 6040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
135	82, 132, 134	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` i ) ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) <_ ( H ` i ) ) )
136	131, 135	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) )
137		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( H ` i ) -> ( z <_ y <-> z <_ ( H ` i ) ) )
138	137	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( H ` i ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
139	138	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( H ` i ) e. RR /\ A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
140	102, 136, 139	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
141	140	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y )
142	9	sseli 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
143		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` i ) <-> i <_ k ) )
144	91, 142, 143	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( k e. ( ZZ>= ` i ) <-> i <_ k ) )
145	144	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( i <_ k -> k e. ( ZZ>= ` i ) ) )
146	145	impr 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` i ) )
147	146, 123	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
148	82	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) : ( ZZ>= ` i ) --> RR )
149	148, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) )
150		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) Fn ( ZZ>= ` i ) /\ k e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
151	149, 146, 150	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
152	147, 151	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) )
153		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) /\ ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
154	85, 99, 141, 152, 153	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ ( k e. Z /\ i <_ k ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
155	154	expr 626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
156	155	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
157		suprcl 10591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
158	84, 98, 140, 157	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
159	158	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR* )
160	2	limsupgle 13612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* ) /\ i e. RR /\ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR* ) -> ( ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) ) )
161	108, 109, 111, 159, 160	syl211anc 1298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. k e. Z ( i <_ k -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) ) )
162	156, 161	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
163		suprleub 10595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y ) /\ ( H ` i ) e. RR ) -> ( sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
164	84, 98, 140, 102, 163	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) <-> A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ ( H ` i ) ) )
165	136, 164	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) )
166	102, 158	letri3d 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( H ` i ) = sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> ( ( H ` i ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) /\ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <_ ( H ` i ) ) ) )
167	162, 165, 166	mpbir2and 936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( H ` i ) = sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
168	167	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( i e. Z |-> ( H ` i ) ) = ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
169	75, 168	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H |` Z ) = ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
170	169	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( H |` Z ) = ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
171	70, 170	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H " Z ) = ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
172	171	supeq1d 7978	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( ( H " Z ) , RR , `' < ) = sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) )
173	17, 69, 172	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) )
174	173	mpteq2dva 4482	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) ) = ( x e. A |-> sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) ) )
175	1, 174	syl5eq 2517	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. A |-> sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) ) )
176		eqid 2471	. . 3 |- ( x e. A |-> sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) ) = ( x e. A |-> sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) )
177		eqid 2471	. . . 4 |- ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` i )
178		eqid 2471	. . . 4 |- ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
179		simpll 768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ph )
180	77	adantll 728	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> n e. Z )
181		mbflimsupOLD.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
182	179, 180, 181	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
183		simpll 768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> ph )
184	77	ad2ant2lr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> n e. Z )
185		simprr 774	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> x e. A )
186	183, 184, 185, 20	syl12anc 1290	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ ( n e. ( ZZ>= ` i ) /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
187	80	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B e. RR )
188		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( z <_ y <-> B <_ y ) )
189	81, 188	ralrnmpt 6046	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) B e. RR -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
190	187, 189	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
191	190	rexbidv 2892	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) )
192	140, 191	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
193	192	an32s 821	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y )
194	177, 178, 90, 182, 186, 193	mbfsup 22699	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) e. MblFn )
195	158	an32s 821	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ x e. A ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
196	195	anasss 659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( i e. Z /\ x e. A ) ) -> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) e. RR )
197	2	limsupleOLD 13614	. . . . . . . 8 |- ( ( Z C_ RR /\ ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR* /\ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR* ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
198	12, 50, 51, 197	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <-> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
199	48, 198	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) )
200		ssralv 3479	. . . . . 6 |- ( Z C_ RR -> ( A. i e. RR ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) ) )
201	11, 199, 200	mpsyl 64	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) )
202	167	breq2d 4407	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ i e. Z ) -> ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
203	202	ralbidva 2828	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ ( H ` i ) <-> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
204	201, 203	mpbid 215	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
205		breq1 4398	. . . . . 6 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
206	205	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( y = ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) -> ( A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) <-> A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) )
207	206	rspcev 3136	. . . 4 |- ( ( ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) e. RR /\ A. i e. Z ( limsup ` ( n e. Z |-> B ) ) <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) -> E. y e. RR A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
208	24, 204, 207	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. i e. Z y <_ sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) )
209	3, 176, 13, 194, 196, 208	mbfinfOLD 22701	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> sup ( ran ( i e. Z |-> sup ( ran ( n e. ( ZZ>= ` i ) |-> B ) , RR , < ) ) , RR , `' < ) ) e. MblFn )
210	175, 209	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> G e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   [,)cico 11662   limsupclspold 13602  MblFncmbf 22651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsupOLD 13604  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656

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