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Theorem mbflimsupOLD 22703
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) Obsolete version of mbflimsup 22702 as of 12-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsupOLD.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflimsupOLD.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
mbflimsupOLD.h  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
mbflimsupOLD.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflimsupOLD.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
mbflimsupOLD.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimsupOLD.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimsupOLD  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, m    ph, n, x    m, M    m, n, x, Z
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( m)    B( x, n)    G( x, m, n)    H( x, m, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsupOLD
Dummy variables  i 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsupOLD.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
2 mbflimsupOLD.h . . . . . 6  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3 mbflimsupOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
65mptex 6152 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
8 uzssz 11202 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
93, 8eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
10 zssre 10968 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3427 . . . . . . 7  |-  Z  C_  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  C_  RR )
13 mbflimsupOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143uzsup 12123 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1615adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
172, 7, 12, 16limsupval2OLD 13618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
18 imassrn 5185 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  C_  ran  H
1913adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
20 mbflimsupOLD.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
2120anass1rs 824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
24 mbflimsupOLD.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
25 ltpnf 11445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )
272, 3limsupgreOLD 13620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )  ->  H : RR --> RR )
2819, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : RR --> RR )
29 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( H : RR --> RR  ->  ran 
H  C_  RR )
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  H 
C_  RR )
3118, 30syl5ss 3429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  C_  RR )
32 fdm 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : RR --> RR  ->  dom 
H  =  RR )
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  H  =  RR )
3433ineq1d 3624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  ( RR  i^i  Z ) )
35 dfss1 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z 
C_  RR  <->  ( RR  i^i  Z )  =  Z )
3611, 35mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  Z )  =  Z
3734, 36syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  Z )
38 uzid 11197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4039, 3syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
4140adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
42 ne0i 3728 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  Z  ->  Z  =/=  (/) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  =/=  (/) )
4437, 43eqnetrd 2710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
45 imadisj 5193 . . . . . . . 8  |-  ( ( H " Z )  =  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =  (/) )
4645necon3bii 2695 . . . . . . 7  |-  ( ( H " Z )  =/=  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
4744, 46sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =/=  (/) )
4824leidd 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
4921rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR* )
5049, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
5124rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )
522limsupleOLD 13614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5312, 50, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5448, 53mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
)
55 ssralv 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
5611, 54, 55mpsyl 64 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) )
572limsupgf 13610 . . . . . . . . . 10  |-  H : RR
--> RR*
58 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : RR --> RR*  ->  H  Fn  RR )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  RR
60 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  y )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6160ralima 6163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  RR  /\  Z  C_  RR )  -> 
( A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y ) ) )
6259, 12, 61sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6356, 62mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
)
64 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
z ) )
6564ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
) )
6665rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( H
" Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H
" Z ) y  <_  z )
6724, 63, 66syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)
68 infmxrreOLD 11651 . . . . . 6  |-  ( ( ( H " Z
)  C_  RR  /\  ( H " Z )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)  ->  sup (
( H " Z
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup (
( H " Z
) ,  RR ,  `'  <  ) )
6931, 47, 67, 68syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  ) )
70 df-ima 4852 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  =  ran  ( H  |`  Z )
7128feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  =  ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) ) )
7271reseq1d 5110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z ) )
73 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) ) )
7411, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )
7572, 74syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i
) ) )
76 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
773uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i ) )  ->  n  e.  Z )
7877adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
79 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  x  e.  A )
8076, 78, 79, 20syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  B  e.  RR )
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )
8280, 81fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR )
83 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR )
8681, 80dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
87 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
8887, 3syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
89 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
9190adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
92 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  ( ZZ>= `  i )
)
93 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( ZZ>= `  i )  =/=  (/) )
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  =/=  (/) )
9586, 94eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
96 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  (/) )
9796necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/) )
9895, 97sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10011sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
101 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : RR --> RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( H `  i
)  e.  RR )
10228, 100, 101syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR )
10388adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
104 uzss 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
106105, 3syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  Z )
107102leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  ( H `  i
) )
10811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  Z  C_  RR )
10950adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
110 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
11111, 110sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
112102rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR* )
1132limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  ( H `
 i )  e. 
RR* )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
114108, 109, 111, 112, 113syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
115107, 114mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
116 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
117106, 115, 116sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) )
118106adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  Z
)
119118resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) )
120119fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
) )
121 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
123120, 122eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
124123breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
125 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  k )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  i  <_  k )
127 biimt 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  k  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
129124, 128bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
130129ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) ) )
131117, 130mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) )
132 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
) )
133 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) `  k )  ->  (
z  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
134133ralrn 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) )
13582, 132, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
136131, 135mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
( H `  i
) )
137 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( H `  i ) ) )
138137ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) ) )
139138rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( H `  i
)  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
140102, 136, 139syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
1429sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
143 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
14491, 142, 143syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
145144biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  i
) ) )
146145impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  i ) )
147146, 123syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
14882adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i ) --> RR )
149148, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i ) )
150 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
151149, 146, 150syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
152147, 151eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) )
153 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
15485, 99, 141, 152, 153syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
155154expr 626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
156155ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
157 suprcl 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
15884, 98, 140, 157syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
159158rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
1602limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( H `  i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
161108, 109, 111, 159, 160syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
162156, 161mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
163 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  ( H `  i )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
16484, 98, 140, 102, 163syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
165136, 164mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i )
)
166102, 158letri3d 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  =  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( H `
 i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i ) ) ) )
167162, 165, 166mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  =  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
168167mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
16975, 168eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
170169rneqd 5068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( H  |`  Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17170, 170syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
172171supeq1d 7978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
17317, 69, 1723eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
174173mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1751, 174syl5eq 2517 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
176 eqid 2471 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
177 eqid 2471 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  i )  =  (
ZZ>= `  i )
178 eqid 2471 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
179 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
18077adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
181 mbflimsupOLD.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
182179, 180, 181syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
183 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  ph )
18477ad2ant2lr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  n  e.  Z )
185 simprr 774 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
186183, 184, 185, 20syl12anc 1290 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
18780ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR )
188 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  y  <->  B  <_  y ) )
18981, 188ralrnmpt 6046 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
190187, 189syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_ 
y ) )
191190rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
192140, 191mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
193192an32s 821 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
194177, 178, 90, 182, 186, 193mbfsup 22699 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)  e. MblFn )
195158an32s 821 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
196195anasss 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1972limsupleOLD 13614 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
19812, 50, 51, 197syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
19948, 198mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
)
200 ssralv 3479 . . . . . 6  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. i  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) ) )
20111, 199, 200mpsyl 64 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) )
202167breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
203202ralbidva 2828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
204201, 203mpbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
205 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
206205ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
207206rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. i  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
20824, 204, 207syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
2093, 176, 13, 194, 196, 208mbfinfOLD 22701 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )  e. MblFn
)
210175, 209eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   [,)cico 11662   limsupclspold 13602  MblFncmbf 22651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsupOLD 13604  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656
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