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Theorem mbflimsupOLD 22703
 Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) Obsolete version of mbflimsup 22702 as of 12-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsupOLD.1
mbflimsupOLD.2
mbflimsupOLD.h
mbflimsupOLD.3
mbflimsupOLD.4
mbflimsupOLD.5 MblFn
mbflimsupOLD.6
Assertion
Ref Expression
mbflimsupOLD MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem mbflimsupOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsupOLD.2 . . 3
2 mbflimsupOLD.h . . . . . 6
3 mbflimsupOLD.1 . . . . . . . . 9
4 fvex 5889 . . . . . . . . 9
53, 4eqeltri 2545 . . . . . . . 8
65mptex 6152 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 uzssz 11202 . . . . . . . . 9
93, 8eqsstri 3448 . . . . . . . 8
10 zssre 10968 . . . . . . . 8
119, 10sstri 3427 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
13 mbflimsupOLD.3 . . . . . . . 8
143uzsup 12123 . . . . . . . 8
1513, 14syl 17 . . . . . . 7
1615adantr 472 . . . . . 6
172, 7, 12, 16limsupval2OLD 13618 . . . . 5
18 imassrn 5185 . . . . . . 7
1913adantr 472 . . . . . . . . 9
20 mbflimsupOLD.6 . . . . . . . . . . 11
2120anass1rs 824 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . 9
24 mbflimsupOLD.4 . . . . . . . . . 10
25 ltpnf 11445 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9
272, 3limsupgreOLD 13620 . . . . . . . . 9
2819, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8
29 frn 5747 . . . . . . . 8
3028, 29syl 17 . . . . . . 7
3118, 30syl5ss 3429 . . . . . 6
32 fdm 5745 . . . . . . . . . . 11
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . 10
3433ineq1d 3624 . . . . . . . . 9
35 dfss1 3628 . . . . . . . . . 10
3611, 35mpbi 213 . . . . . . . . 9
3734, 36syl6eq 2521 . . . . . . . 8
38 uzid 11197 . . . . . . . . . . . 12
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11
4039, 3syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
4140adantr 472 . . . . . . . . 9
42 ne0i 3728 . . . . . . . . 9
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8
4437, 43eqnetrd 2710 . . . . . . 7
45 imadisj 5193 . . . . . . . 8
4645necon3bii 2695 . . . . . . 7
4744, 46sylibr 217 . . . . . 6
4824leidd 10201 . . . . . . . . . 10
4921rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12
5049, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11
5124rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
522limsupleOLD 13614 . . . . . . . . . . 11
5312, 50, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
5448, 53mpbid 215 . . . . . . . . 9
55 ssralv 3479 . . . . . . . . 9
5611, 54, 55mpsyl 64 . . . . . . . 8
572limsupgf 13610 . . . . . . . . . 10
58 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9
60 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
6160ralima 6163 . . . . . . . . 9
6259, 12, 61sylancr 676 . . . . . . . 8
6356, 62mpbird 240 . . . . . . 7
64 breq1 4398 . . . . . . . . 9
6564ralbidv 2829 . . . . . . . 8
6665rspcev 3136 . . . . . . 7
6724, 63, 66syl2anc 673 . . . . . 6
68 infmxrreOLD 11651 . . . . . 6
6931, 47, 67, 68syl3anc 1292 . . . . 5
70 df-ima 4852 . . . . . . 7
7128feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11
7271reseq1d 5110 . . . . . . . . . 10
73 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11
7411, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7572, 74syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
76 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
773uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7877adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8076, 78, 79, 20syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
8681, 80dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887, 3syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9586, 94eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9895, 97sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
10011sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10228, 100, 101syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10388adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 uzss 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106105, 3syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107102leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10950adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11111, 110sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112102rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1132limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
114108, 109, 111, 112, 113syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115107, 114mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117106, 115, 116sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118106adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
119118resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
120119fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
123120, 122eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124123breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127 biimt 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129124, 128bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130129ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131117, 130mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134133ralrn 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13582, 132, 1343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136131, 135mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138137ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140102, 136, 139syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1429sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14491, 142, 143syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145144biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146145impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147146, 123syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14882adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149148, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151149, 146, 150syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152147, 151eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15
15485, 99, 141, 152, 153syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14
155154expr 626 . . . . . . . . . . . . 13
156155ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
157 suprcl 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15
15884, 98, 140, 157syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
159158rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
1602limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . 13
161108, 109, 111, 159, 160syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . 12
162156, 161mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
163 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . . 13
16484, 98, 140, 102, 163syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12
165136, 164mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
166102, 158letri3d 9794 . . . . . . . . . . 11
167162, 165, 166mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10
168167mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9
16975, 168eqtrd 2505 . . . . . . . 8
170169rneqd 5068 . . . . . . 7
17170, 170syl5eq 2517 . . . . . 6
172171supeq1d 7978 . . . . 5
17317, 69, 1723eqtrd 2509 . . . 4
174173mpteq2dva 4482 . . 3
1751, 174syl5eq 2517 . 2
176 eqid 2471 . . 3
177 eqid 2471 . . . 4
178 eqid 2471 . . . 4
179 simpll 768 . . . . 5
18077adantll 728 . . . . 5
181 mbflimsupOLD.5 . . . . 5 MblFn
182179, 180, 181syl2anc 673 . . . 4 MblFn
183 simpll 768 . . . . 5
18477ad2ant2lr 762 . . . . 5
185 simprr 774 . . . . 5
186183, 184, 185, 20syl12anc 1290 . . . 4
18780ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
188 breq1 4398 . . . . . . . . 9
18981, 188ralrnmpt 6046 . . . . . . . 8
190187, 189syl 17 . . . . . . 7
191190rexbidv 2892 . . . . . 6
192140, 191mpbid 215 . . . . 5
193192an32s 821 . . . 4
194177, 178, 90, 182, 186, 193mbfsup 22699 . . 3 MblFn
195158an32s 821 . . . 4
196195anasss 659 . . 3
1972limsupleOLD 13614 . . . . . . . 8
19812, 50, 51, 197syl3anc 1292 . . . . . . 7
19948, 198mpbid 215 . . . . . 6
200 ssralv 3479 . . . . . 6
20111, 199, 200mpsyl 64 . . . . 5
202167breq2d 4407 . . . . . 6
203202ralbidva 2828 . . . . 5
204201, 203mpbid 215 . . . 4
205 breq1 4398 . . . . . 6
206205ralbidv 2829 . . . . 5
207206rspcev 3136 . . . 4
20824, 204, 207syl2anc 673 . . 3
2093, 176, 13, 194, 196, 208mbfinfOLD 22701 . 2 MblFn
210175, 209eqeltrd 2549 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  cico 11662  clspold 13602  MblFncmbf 22651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsupOLD 13604  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656 This theorem is referenced by: (None)
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