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Theorem mbflimsup 22702
 Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1
mbflimsup.2
mbflimsup.h
mbflimsup.3
mbflimsup.4
mbflimsup.5 MblFn
mbflimsup.6
Assertion
Ref Expression
mbflimsup MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3
2 mbflimsup.h . . . . . 6
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9
4 fvex 5889 . . . . . . . . 9
53, 4eqeltri 2545 . . . . . . . 8
65mptex 6152 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 uzssz 11202 . . . . . . . . 9
93, 8eqsstri 3448 . . . . . . . 8
10 zssre 10968 . . . . . . . 8
119, 10sstri 3427 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8
143uzsup 12123 . . . . . . . 8
1513, 14syl 17 . . . . . . 7
1615adantr 472 . . . . . 6
172, 7, 12, 16limsupval2 13617 . . . . 5 inf
18 imassrn 5185 . . . . . . 7
1913adantr 472 . . . . . . . . 9
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11
2120anass1rs 824 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . . 9
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10
2524ltpnfd 11446 . . . . . . . . 9
262, 3limsupgre 13619 . . . . . . . . 9
2719, 23, 25, 26syl3anc 1292 . . . . . . . 8
28 frn 5747 . . . . . . . 8
2927, 28syl 17 . . . . . . 7
3018, 29syl5ss 3429 . . . . . 6
31 fdm 5745 . . . . . . . . . . 11
3227, 31syl 17 . . . . . . . . . 10
3332ineq1d 3624 . . . . . . . . 9
34 dfss1 3628 . . . . . . . . . 10
3511, 34mpbi 213 . . . . . . . . 9
3633, 35syl6eq 2521 . . . . . . . 8
37 uzid 11197 . . . . . . . . . . . 12
3813, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11
3938, 3syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
4039adantr 472 . . . . . . . . 9
41 ne0i 3728 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8
4336, 42eqnetrd 2710 . . . . . . 7
44 imadisj 5193 . . . . . . . 8
4544necon3bii 2695 . . . . . . 7
4643, 45sylibr 217 . . . . . 6
4724leidd 10201 . . . . . . . . . 10
4821rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12
4948, 22fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11
5024rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
512limsuple 13613 . . . . . . . . . . 11
5212, 49, 50, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
5347, 52mpbid 215 . . . . . . . . 9
54 ssralv 3479 . . . . . . . . 9
5511, 53, 54mpsyl 64 . . . . . . . 8
562limsupgf 13610 . . . . . . . . . 10
57 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9
59 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
6059ralima 6163 . . . . . . . . 9
6158, 12, 60sylancr 676 . . . . . . . 8
6255, 61mpbird 240 . . . . . . 7
63 breq1 4398 . . . . . . . . 9
6463ralbidv 2829 . . . . . . . 8
6564rspcev 3136 . . . . . . 7
6624, 62, 65syl2anc 673 . . . . . 6
67 infxrre 11647 . . . . . 6 inf inf
6830, 46, 66, 67syl3anc 1292 . . . . 5 inf inf
69 df-ima 4852 . . . . . . 7
7027feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11
7170reseq1d 5110 . . . . . . . . . 10
72 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11
7311, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7471, 73syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
7511sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13
76 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13
7727, 75, 76syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
7877rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
79 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
803uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8379, 81, 82, 20syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14
86 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8884, 83dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089, 3syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
9788, 96eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . 14
98 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . . . 14
10097, 99sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13
10190adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 uzss 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103, 3syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10577leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10749adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10911, 108sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1102limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111106, 107, 109, 78, 110syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112105, 111mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114104, 112, 113sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115104adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116115resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117116fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120117, 119eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123122adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124 biimt 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126121, 125bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127126ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128114, 127mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
129 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130ralrn 6040 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13285, 129, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
133128, 132mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
134 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135134ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14
13777, 133, 136syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
138 suprcl 10591 . . . . . . . . . . . . 13
13987, 100, 137, 138syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
140139rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
14187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
142100adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
143137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
1449sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14693, 144, 145syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147146biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148147impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148, 120syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15085adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151150, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153151, 148, 152syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154149, 153eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15
156141, 142, 143, 154, 155syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14
157156expr 626 . . . . . . . . . . . . 13
158157ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
1592limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . 13
160106, 107, 109, 140, 159syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . 12
161158, 160mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
162 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . . 13
16387, 100, 137, 77, 162syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12
164133, 163mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
16578, 140, 161, 164xrletrid 11475 . . . . . . . . . 10
166165mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9
16774, 166eqtrd 2505 . . . . . . . 8
168167rneqd 5068 . . . . . . 7
16969, 168syl5eq 2517 . . . . . 6
170169infeq1d 8011 . . . . 5 inf inf
17117, 68, 1703eqtrd 2509 . . . 4 inf
172171mpteq2dva 4482 . . 3 inf
1731, 172syl5eq 2517 . 2 inf
174 eqid 2471 . . 3 inf inf
175 eqid 2471 . . . 4
176 eqid 2471 . . . 4
177 simpll 768 . . . . 5
17880adantll 728 . . . . 5
179 mbflimsup.5 . . . . 5 MblFn
180177, 178, 179syl2anc 673 . . . 4 MblFn
181 simpll 768 . . . . 5
18280ad2ant2lr 762 . . . . 5
183 simprr 774 . . . . 5
184181, 182, 183, 20syl12anc 1290 . . . 4
18583ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
186 breq1 4398 . . . . . . . . 9
18784, 186ralrnmpt 6046 . . . . . . . 8
188185, 187syl 17 . . . . . . 7
189188rexbidv 2892 . . . . . 6
190137, 189mpbid 215 . . . . 5
191190an32s 821 . . . 4
192175, 176, 92, 180, 184, 191mbfsup 22699 . . 3 MblFn
193139an32s 821 . . . 4
194193anasss 659 . . 3
1952limsuple 13613 . . . . . . . 8
19612, 49, 50, 195syl3anc 1292 . . . . . . 7
19747, 196mpbid 215 . . . . . 6
198 ssralv 3479 . . . . . 6
19911, 197, 198mpsyl 64 . . . . 5
200165breq2d 4407 . . . . . 6
201200ralbidva 2828 . . . . 5
202199, 201mpbid 215 . . . 4
203 breq1 4398 . . . . . 6
204203ralbidv 2829 . . . . 5
205204rspcev 3136 . . . 4
20624, 202, 205syl2anc 673 . . 3
2073, 174, 13, 192, 194, 206mbfinf 22700 . 2 inf MblFn
208173, 207eqeltrd 2549 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  infcinf 7973  cr 9556   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  cico 11662  clsp 13601  MblFncmbf 22651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656 This theorem is referenced by:  mbflimlem  22704
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