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Theorem mbflimsup 20986
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflimsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
mbflimsup.h  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
mbflimsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflimsup.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
mbflimsup.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimsup.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, m    ph, n, x    m, M    m, n, x, Z
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( m)    B( x, n)    G( x, m, n)    H( x, m, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables  i 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
2 mbflimsup.h . . . . . 6  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2503 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5935 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
8 uzssz 10868 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
93, 8eqsstri 3374 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
10 zssre 10641 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3353 . . . . . . 7  |-  Z  C_  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  C_  RR )
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143uzsup 11686 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1615adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
172, 7, 12, 16limsupval2 12942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
18 imassrn 5168 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  C_  ran  H
1913adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
2120anass1rs 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
22 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
2321, 22fmptd 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
25 ltpnf 11090 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )
272, 3limsupgre 12943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )  ->  H : RR --> RR )
2819, 23, 26, 27syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : RR --> RR )
29 frn 5553 . . . . . . . 8  |-  ( H : RR --> RR  ->  ran 
H  C_  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  H 
C_  RR )
3118, 30syl5ss 3355 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  C_  RR )
32 fdm 5551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : RR --> RR  ->  dom 
H  =  RR )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  H  =  RR )
3433ineq1d 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  ( RR  i^i  Z ) )
35 dfss1 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z 
C_  RR  <->  ( RR  i^i  Z )  =  Z )
3611, 35mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  Z )  =  Z
3734, 36syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  Z )
38 uzid 10863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3913, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4039, 3syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
4140adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
42 ne0i 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  Z  ->  Z  =/=  (/) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  =/=  (/) )
4437, 43eqnetrd 2616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
45 imadisj 5176 . . . . . . . 8  |-  ( ( H " Z )  =  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =  (/) )
4645necon3bii 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( H " Z )  =/=  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
4744, 46sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =/=  (/) )
4824leidd 9894 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
4921rexrd 9421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR* )
5049, 22fmptd 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
5124rexrd 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )
522limsuple 12940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5312, 50, 51, 52syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5448, 53mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
)
55 ssralv 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
5611, 54, 55mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) )
572limsupgf 12937 . . . . . . . . . 10  |-  H : RR
--> RR*
58 ffn 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : RR --> RR*  ->  H  Fn  RR )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  RR
60 breq2 4284 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  y )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6160ralima 5944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  RR  /\  Z  C_  RR )  -> 
( A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y ) ) )
6259, 12, 61sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6356, 62mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
)
64 breq1 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
z ) )
6564ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
) )
6665rspcev 3062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( H
" Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H
" Z ) y  <_  z )
6724, 63, 66syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)
68 infmxrre 11286 . . . . . 6  |-  ( ( ( H " Z
)  C_  RR  /\  ( H " Z )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)  ->  sup (
( H " Z
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup (
( H " Z
) ,  RR ,  `'  <  ) )
6931, 47, 67, 68syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  ) )
70 df-ima 4840 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  =  ran  ( H  |`  Z )
7128feqmptd 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  =  ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) ) )
7271reseq1d 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z ) )
73 resmpt 5144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) ) )
7411, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )
7572, 74syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i
) ) )
76 simplll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
773uztrn2 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i ) )  ->  n  e.  Z )
7877adantll 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
79 simpllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  x  e.  A )
8076, 78, 79, 20syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  B  e.  RR )
81 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )
8280, 81fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR )
83 frn 5553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8584adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR )
86 fdm 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
88 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
8988, 3syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
90 eluzelz 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
9291adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
93 uzid 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  ( ZZ>= `  i )
)
94 ne0i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( ZZ>= `  i )  =/=  (/) )
9592, 93, 943syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  =/=  (/) )
9687, 95eqnetrd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
97 dm0rn0 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  (/) )
9897necon3bii 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/) )
9996, 98sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10099adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10111sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
102 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : RR --> RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( H `  i
)  e.  RR )
10328, 101, 102syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR )
10489adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
105 uzss 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
107106, 3syl6sseqr 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  Z )
108103leidd 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  ( H `  i
) )
10911a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  Z  C_  RR )
11050adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
111 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
11211, 111sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
113103rexrd 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR* )
1142limsupgle 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  ( H `
 i )  e. 
RR* )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
115109, 110, 112, 113, 114syl211anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
116108, 115mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
117 ssralv 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
118107, 116, 117sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) )
119107adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  Z
)
120 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i )
)  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) )
122121fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
) )
123 fvres 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
124123adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
125122, 124eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
126125breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
127 eluzle 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  k )
128127adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  i  <_  k )
129 biimt 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  k  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
131126, 130bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
132131ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) ) )
133118, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) )
134 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
) )
135 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) `  k )  ->  (
z  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
136135ralrn 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) )
13782, 134, 1363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
138133, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
( H `  i
) )
139 breq2 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( H `  i ) ) )
140139ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) ) )
141140rspcev 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( H `  i
)  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
142103, 138, 141syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )
143142adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
1449sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
145 eluz 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
14692, 144, 145syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
147146biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  i
) ) )
148147impr 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  i ) )
149148, 125syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
15082adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i ) --> RR )
151150, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i ) )
152 fnfvelrn 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
153151, 148, 152syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
154149, 153eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) )
155 suprub 10279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
15685, 100, 143, 154, 155syl31anc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
157156expr 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
158157ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
159 suprcl 10278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
16084, 99, 142, 159syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
161160rexrd 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
1622limsupgle 12939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( H `  i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
163109, 110, 112, 161, 162syl211anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
164158, 163mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
165 suprleub 10282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  ( H `  i )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
16684, 99, 142, 103, 165syl31anc 1214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
167138, 166mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i )
)
168103, 160letri3d 9504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  =  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( H `
 i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i ) ) ) )
169164, 167, 168mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  =  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
170169mpteq2dva 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17175, 170eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
172171rneqd 5054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( H  |`  Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17370, 172syl5eq 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
174173supeq1d 7684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
17517, 69, 1743eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
176175mpteq2dva 4366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1771, 176syl5eq 2477 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
178 eqid 2433 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
179 eqid 2433 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  i )  =  (
ZZ>= `  i )
180 eqid 2433 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
181 simpll 746 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
18277adantll 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
183 mbflimsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
184181, 182, 183syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
185 simpll 746 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  ph )
18677ad2ant2lr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  n  e.  Z )
187 simprr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
188185, 186, 187, 20syl12anc 1209 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
18980ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR )
190 breq1 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  y  <->  B  <_  y ) )
19181, 190ralrnmpt 5840 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
192189, 191syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_ 
y ) )
193192rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
194142, 193mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
195194an32s 795 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
196179, 180, 91, 184, 188, 195mbfsup 20984 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)  e. MblFn )
197160an32s 795 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
198197anasss 640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1992limsuple 12940 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20012, 50, 51, 199syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20148, 200mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
)
202 ssralv 3404 . . . . . 6  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. i  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) ) )
20311, 201, 202mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) )
204169breq2d 4292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
205204ralbidva 2721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
206203, 205mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
207 breq1 4283 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
208207ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
209208rspcev 3062 . . . 4  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. i  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
21024, 206, 209syl2anc 654 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
2113, 178, 13, 196, 198, 210mbfinf 20985 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )  e. MblFn
)
212177, 211eqeltrd 2507 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   RRcr 9269   +oocpnf 9403   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   [,)cico 11290   limsupclsp 12932  MblFncmbf 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cc 8592  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xadd 11078  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-xmet 17654  df-met 17655  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941
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