MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimsup Structured version   Unicode version

Theorem mbflimsup 22560
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflimsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
mbflimsup.h  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
mbflimsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflimsup.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
mbflimsup.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimsup.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, m    ph, n, x    m, M    m, n, x, Z
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( m)    B( x, n)    G( x, m, n)    H( x, m, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables  i 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
2 mbflimsup.h . . . . . 6  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2497 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
65mptex 6090 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
8 uzssz 11124 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
93, 8eqsstri 3432 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
10 zssre 10890 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3411 . . . . . . 7  |-  Z  C_  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  C_  RR )
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143uzsup 12035 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1615adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = +oo )
172, 7, 12, 16limsupval2 13478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  = inf ( ( H
" Z ) , 
RR* ,  <  ) )
18 imassrn 5136 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  C_  ran  H
1913adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
2120anass1rs 814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
22 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
2321, 22fmptd 6000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
2524ltpnfd 11369 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )
262, 3limsupgre 13480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  < +oo )  ->  H : RR --> RR )
2719, 23, 25, 26syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : RR --> RR )
28 frn 5690 . . . . . . . 8  |-  ( H : RR --> RR  ->  ran 
H  C_  RR )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  H 
C_  RR )
3018, 29syl5ss 3413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  C_  RR )
31 fdm 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : RR --> RR  ->  dom 
H  =  RR )
3227, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  H  =  RR )
3332ineq1d 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  ( RR  i^i  Z ) )
34 dfss1 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z 
C_  RR  <->  ( RR  i^i  Z )  =  Z )
3511, 34mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  Z )  =  Z
3633, 35syl6eq 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  Z )
37 uzid 11119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3813, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3938, 3syl6eleqr 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
4039adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
41 ne0i 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  Z  ->  Z  =/=  (/) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  =/=  (/) )
4336, 42eqnetrd 2663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
44 imadisj 5144 . . . . . . . 8  |-  ( ( H " Z )  =  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =  (/) )
4544necon3bii 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( H " Z )  =/=  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
4643, 45sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =/=  (/) )
4724leidd 10126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
4821rexrd 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR* )
4948, 22fmptd 6000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
5024rexrd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )
512limsuple 13474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5212, 49, 50, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5347, 52mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
)
54 ssralv 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
5511, 53, 54mpsyl 65 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) )
562limsupgf 13471 . . . . . . . . . 10  |-  H : RR
--> RR*
57 ffn 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : RR --> RR*  ->  H  Fn  RR )
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  RR
59 breq2 4365 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  y )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6059ralima 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  RR  /\  Z  C_  RR )  -> 
( A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y ) ) )
6158, 12, 60sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6255, 61mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
)
63 breq1 4364 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
z ) )
6463ralbidv 2799 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
) )
6564rspcev 3120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( H
" Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H
" Z ) y  <_  z )
6624, 62, 65syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)
67 infxrre 11568 . . . . . 6  |-  ( ( ( H " Z
)  C_  RR  /\  ( H " Z )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)  -> inf ( ( H " Z ) , 
RR* ,  <  )  = inf ( ( H " Z ) ,  RR ,  <  ) )
6830, 46, 66, 67syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> inf ( ( H " Z ) ,  RR* ,  <  )  = inf ( ( H " Z ) ,  RR ,  <  ) )
69 df-ima 4804 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  =  ran  ( H  |`  Z )
7027feqmptd 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  =  ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) ) )
7170reseq1d 5061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z ) )
72 resmpt 5111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) ) )
7311, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )
7471, 73syl6eq 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i
) ) )
7511sseli 3398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
76 ffvelrn 5974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : RR --> RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( H `  i
)  e.  RR )
7727, 75, 76syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR )
7877rexrd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR* )
79 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
803uztrn2 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i ) )  ->  n  e.  Z )
8180adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
82 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  x  e.  A )
8379, 81, 82, 20syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  B  e.  RR )
84 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )
8583, 84fmptd 6000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR )
86 frn 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8884, 83dmmptd 5664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
89 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
9089, 3syl6eleq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
91 eluzelz 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
9392adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
94 uzid 11119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  ( ZZ>= `  i )
)
95 ne0i 3705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( ZZ>= `  i )  =/=  (/) )
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  =/=  (/) )
9788, 96eqnetrd 2663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
98 dm0rn0 5008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  (/) )
9998necon3bii 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/) )
10097, 99sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10190adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
102 uzss 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
104103, 3syl6sseqr 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  Z )
10577leidd 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  ( H `  i
) )
10611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  Z  C_  RR )
10749adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
108 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
10911, 108sseldi 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
1102limsupgle 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  ( H `
 i )  e. 
RR* )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
111106, 107, 109, 78, 110syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
112105, 111mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
113 ssralv 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
114104, 112, 113sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) )
115104adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  Z
)
116115resmptd 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) )
117116fveq1d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
) )
118 fvres 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
119118adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
120117, 119eqtr3d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
121120breq1d 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
122 eluzle 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  k )
123122adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  i  <_  k )
124 biimt 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  <_  k  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
126121, 125bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
127126ralbidva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) ) )
128114, 127mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) )
129 ffn 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
) )
130 breq1 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) `  k )  ->  (
z  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
131130ralrn 5979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) )
13285, 129, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
133128, 132mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
( H `  i
) )
134 breq2 4365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( H `  i ) ) )
135134ralbidv 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) ) )
136135rspcev 3120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  i
)  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
13777, 133, 136syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )
138 suprcl 10515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
13987, 100, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
140139rexrd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
14187adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR )
142100adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/) )
143137adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
1449sseli 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
145 eluz 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
14693, 144, 145syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
147146biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  i
) ) )
148147impr 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  i ) )
149148, 120syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
15085adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i ) --> RR )
151150, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i ) )
152 fnfvelrn 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
153151, 148, 152syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
154149, 153eqeltrrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) )
155 suprub 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
156141, 142, 143, 154, 155syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
157156expr 618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
158157ralrimiva 2774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1592limsupgle 13473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( H `  i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
160106, 107, 109, 140, 159syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
161158, 160mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
162 suprleub 10519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  ( H `  i )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
16387, 100, 137, 77, 162syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
164133, 163mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i )
)
16578, 140, 161, 164xrletrid 11398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  =  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
166165mpteq2dva 4448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
16774, 166eqtrd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
168167rneqd 5019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( H  |`  Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
16969, 168syl5eq 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
170169infeq1d 7941 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  -> inf ( ( H " Z ) ,  RR ,  <  )  = inf ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  <  ) )
17117, 68, 1703eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  = inf ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  <  ) )
172171mpteq2dva 4448 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |-> inf ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
1731, 172syl5eq 2469 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |-> inf ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
174 eqid 2423 . . 3  |-  ( x  e.  A  |-> inf ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> inf ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  <  ) )
175 eqid 2423 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  i )  =  (
ZZ>= `  i )
176 eqid 2423 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
177 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
17880adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
179 mbflimsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
180177, 178, 179syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
181 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  ph )
18280ad2ant2lr 752 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  n  e.  Z )
183 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
184181, 182, 183, 20syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
18583ralrimiva 2774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR )
186 breq1 4364 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  y  <->  B  <_  y ) )
18784, 186ralrnmpt 5985 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
188185, 187syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_ 
y ) )
189188rexbidv 2873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
190137, 189mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
191190an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
192175, 176, 92, 180, 184, 191mbfsup 22557 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)  e. MblFn )
193139an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
194193anasss 651 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1952limsuple 13474 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
19612, 49, 50, 195syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
19747, 196mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
)
198 ssralv 3463 . . . . . 6  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. i  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) ) )
19911, 197, 198mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) )
200165breq2d 4373 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
201200ralbidva 2796 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
202199, 201mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
203 breq1 4364 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
204203ralbidv 2799 . . . . 5  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
205204rspcev 3120 . . . 4  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. i  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
20624, 202, 205syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
2073, 174, 13, 192, 194, 206mbfinf 22558 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> inf ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
208173, 207eqeltrd 2501 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 3017    i^i cin 3373    C_ wss 3374   (/)c0 3699   class class class wbr 4361    |-> cmpt 4420   dom cdm 4791   ran crn 4792    |` cres 4793   "cima 4794    Fn wfn 5534   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   supcsup 7902  infcinf 7903   RRcr 9484   +oocpnf 9618   RR*cxr 9620    < clt 9621    <_ cle 9622   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   [,)cico 11583   limsupclsp 13462  MblFncmbf 22509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cc 8811  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-disj 4333  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-q 11211  df-rp 11249  df-xadd 11356  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-fl 11973  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-limsup 13464  df-clim 13490  df-rlim 13491  df-sum 13691  df-xmet 18901  df-met 18902  df-ovol 22353  df-vol 22355  df-mbf 22514
This theorem is referenced by:  mbflimlem  22562
  Copyright terms: Public domain W3C validator