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Theorem mbflim 21943
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflim.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbflim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)    V( x, n)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 mbflim.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
4 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 6142 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  e.  _V
76a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  e.  _V )
82adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
9 mbflim.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
1110anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
129, 11mbfmptcl 21912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
14 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
1513, 14fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC )
1615ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1813recld 13007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
19 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )
2019fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  B ) )
2117, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  B ) )
2214fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
2317, 13, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
2423fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Re
`  B ) )
2521, 24eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
2625ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
27 nffvmpt1 5880 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )
28 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Re
29 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )
3028, 29nffv 5879 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
3127, 30nfeq 2640 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
32 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
33 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n ) )
34 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3534fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
3633, 35eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) ) `
 n )  =  ( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
3731, 32, 36cbvral 3089 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3826, 37sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
3938r19.21bi 2836 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 13408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  ~~>  ( Re `  C ) )
4112ismbfcn2 21914 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
429, 41mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
4342simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn )
4412anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  CC )
4544recld 13007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Re `  B
)  e.  RR )
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 21942 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
475mptex 6142 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  e.  _V
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  e.  _V )
4913imcld 13008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )
5150fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  B ) )
5217, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  B ) )
5323fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Im
`  B ) )
5452, 53eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
5554ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
56 nffvmpt1 5880 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )
57 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Im
5857, 29nffv 5879 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
5956, 58nfeq 2640 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
60 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
61 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n ) )
6234fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
6361, 62eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) ) `
 n )  =  ( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
6459, 60, 63cbvral 3089 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
6555, 64sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
6665r19.21bi 2836 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 13409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  ~~>  ( Im `  C ) )
6842simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )
6944imcld 13008 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Im `  B
)  e.  RR )
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 21942 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
71 climcl 13302 . . . 4  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  C  e.  CC )
723, 71syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7372ismbfcn2 21914 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
7446, 70, 73mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   CCcc 9502   RRcr 9503   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   Recre 12910   Imcim 12911    ~~> cli 13287  MblFncmbf 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-xmet 18282  df-met 18283  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  21999  mbfulm  22668
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