Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Unicode version

Theorem mbflim 21943
 Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1
mbflim.2
mbflim.4
mbflim.5 MblFn
mbflim.6
Assertion
Ref Expression
mbflim MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3
2 mbflim.2 . . 3
3 mbflim.4 . . . 4
4 fvex 5882 . . . . . . 7
51, 4eqeltri 2551 . . . . . 6
65mptex 6142 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
82adantr 465 . . . 4
9 mbflim.5 . . . . . . . 8 MblFn
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9
1110anassrs 648 . . . . . . . 8
129, 11mbfmptcl 21912 . . . . . . 7
1312an32s 802 . . . . . 6
14 eqid 2467 . . . . . 6
1513, 14fmptd 6056 . . . . 5
1615ffvelrnda 6032 . . . 4
17 simpr 461 . . . . . . . . 9
1813recld 13007 . . . . . . . . 9
19 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
2019fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9
2117, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8
2214fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
2317, 13, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2423fveq2d 5876 . . . . . . . 8
2521, 24eqtr4d 2511 . . . . . . 7
2625ralrimiva 2881 . . . . . 6
27 nffvmpt1 5880 . . . . . . . 8
28 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
29 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9
3028, 29nffv 5879 . . . . . . . 8
3127, 30nfeq 2640 . . . . . . 7
32 nfv 1683 . . . . . . 7
33 fveq2 5872 . . . . . . . 8
34 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
3534fveq2d 5876 . . . . . . . 8
3633, 35eqeq12d 2489 . . . . . . 7
3731, 32, 36cbvral 3089 . . . . . 6
3826, 37sylibr 212 . . . . 5
3938r19.21bi 2836 . . . 4
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 13408 . . 3
4112ismbfcn2 21914 . . . . 5 MblFn MblFn MblFn
429, 41mpbid 210 . . . 4 MblFn MblFn
4342simpld 459 . . 3 MblFn
4412anasss 647 . . . 4
4544recld 13007 . . 3
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 21942 . 2 MblFn
475mptex 6142 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
4913imcld 13008 . . . . . . . . 9
50 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
5150fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9
5217, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . 8
5323fveq2d 5876 . . . . . . . 8
5452, 53eqtr4d 2511 . . . . . . 7
5554ralrimiva 2881 . . . . . 6
56 nffvmpt1 5880 . . . . . . . 8
57 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
5857, 29nffv 5879 . . . . . . . 8
5956, 58nfeq 2640 . . . . . . 7
60 nfv 1683 . . . . . . 7
61 fveq2 5872 . . . . . . . 8
6234fveq2d 5876 . . . . . . . 8
6361, 62eqeq12d 2489 . . . . . . 7
6459, 60, 63cbvral 3089 . . . . . 6
6555, 64sylibr 212 . . . . 5
6665r19.21bi 2836 . . . 4
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 13409 . . 3
6842simprd 463 . . 3 MblFn
6944imcld 13008 . . 3
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 21942 . 2 MblFn
71 climcl 13302 . . . 4
723, 71syl 16 . . 3
7372ismbfcn2 21914 . 2 MblFn MblFn MblFn
7446, 70, 73mpbir2and 920 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   class class class wbr 4453   cmpt 4511  cfv 5594  cc 9502  cr 9503  cz 10876  cuz 11094  cre 12910  cim 12911   cli 13287  MblFncmbf 21891 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-xmet 18282  df-met 18283  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896 This theorem is referenced by:  mbfmullem2  21999  mbfulm  22668
 Copyright terms: Public domain W3C validator