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Theorem mbfinfOLD 22634
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) Obsolete version of mbfinf 22633 as of 13-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinfOLD.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfinfOLD.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
mbfinfOLD.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfinfOLD.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfinfOLD.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfinfOLD.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
Assertion
Ref Expression
mbfinfOLD  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    ph, n, x, y    n, Z, x, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinfOLD
Dummy variables  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinfOLD.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
2 mbfinfOLD.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 817 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 6051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5740 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfinfOLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 11180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfinfOLD.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
144, 3dmmptd 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1513, 14eleqtrrd 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
16 ne0i 3739 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
18 dm0rn0 5054 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
1918necon3bii 2678 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2017, 19sylib 200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
21 mbfinfOLD.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
22 ffn 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
24 breq2 4409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( y  <_  z  <->  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
2524ralrn 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
27 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
y
28 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <_
29 nffvmpt1 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
3027, 28, 29nfbr 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
31 nfv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
32 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3332breq2d 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3430, 31, 33cbvral 3017 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
364fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
3735, 3, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
3837breq2d 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
y  <_  B )
)
3938ralbidva 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4034, 39syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4126, 40bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4241rexbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4321, 42mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )
44 infmsupOLD 10599 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
457, 20, 43, 44syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
46 rabid 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <-> 
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
473recnd 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
4847adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  CC )
49 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
5049recnd 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  CC )
51 negcon2 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( B  =  -u r 
<->  r  =  -u B
) )
5248, 50, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  r  =  -u B ) )
53 eqcom 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  -u B  <->  -u B  =  r )
5452, 53syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  -u B  =  r ) )
5537adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
5655eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  B  =  -u r ) )
57 negex 9878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u B  e.  _V
58 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  =  ( n  e.  Z  |->  -u B
)
5958fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  Z  /\  -u B  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  -u B )
6057, 59mpan2 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  -u B )
6160adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  -u B
)
6261eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r  <->  -u B  =  r
) )
6354, 56, 623bitr4d 289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6463ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6529nfeq1 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r
66 nffvmpt1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )
6766nfeq1 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r
6865, 67nfbi 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )
69 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r )
7032eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  -u r ) )
71 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n ) )
7271eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r  <-> 
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  r ) )
7370, 72bibi12d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )  <-> 
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) ) )
7468, 69, 73cbvral 3017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  Z  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r )  <->  A. n  e.  Z  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) )
7564, 74sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. m  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7675r19.21bi 2759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7776rexbidva 2900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r ) )
7823adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
79 fvelrnb 5917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
813renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
8281, 58fmptd 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
8382adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
84 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z
)
86 fvelrnb 5917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z  ->  ( r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8877, 80, 873bitr4d 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
8988pm5.32da 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
90 frn 5740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  C_  RR )
9182, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  C_  RR )
9291sseld 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  ->  r  e.  RR ) )
9392pm4.71rd 641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
9489, 93bitr4d 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9546, 94syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9695alrimiv 1775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
97 nfrab1 2973 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }
98 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )
9997, 98cleqf 2619 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
10096, 99sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) )
101100supeq1d 7965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
102101negeqd 9874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
10345, 102eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
104103mpteq2dva 4492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1051, 104syl5eq 2499 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
) )
106 ltso 9719 . . . . 5  |-  <  Or  RR
107106supex 7982 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
108107a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
109 eqid 2453 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
1102anassrs 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
111 mbfinfOLD.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
112110, 111mbfneg 22618 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  -u B )  e. MblFn )
1132renegcld 10053 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  -u B  e.  RR )
114 renegcl 9942 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
115114ad2antrl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  -u y  e.  RR )
116 simplr 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  y  e.  RR )
1173adantlr 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
118116, 117lenegd 10199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
119118ralbidva 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
120119biimpd 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
121120impr 625 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )
122 breq2 4409 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u B  <_  z  <->  -u B  <_  -u y ) )
123122ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  ( A. n  e.  Z  -u B  <_  z  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
124123rspcev 3152 . . . . . 6  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\ 
A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
125115, 121, 124syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
12621, 125rexlimddv 2885 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
)
12711, 109, 8, 112, 113, 126mbfsup 22632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
128108, 127mbfneg 22618 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
129105, 128eqeltrd 2531 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1444    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543    < clt 9680    <_ cle 9681   -ucneg 9866   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166  MblFncmbf 22584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-xmet 18975  df-met 18976  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589
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