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Theorem mbfimaopnlem 22660
Description: Lemma for mbfimaopn 22661. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn.2  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
mbfimaopn.3  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
mbfimaopn.4  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, J, y
Allowed substitution hints:    A( y)    K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables  t 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3cnrehmeo 22030 . . . . . . 7  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) Homeo J )
5 hmeocn 20824 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  ->  G  e.  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
7 cnima 20330 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  A  e.  J
)  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
86, 7mpan 681 . . . . 5  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
109fveq2i 5891 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
1110tgqioo 21867 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  B )
1211, 11oveq12i 6327 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)
13 qtopbas 21829 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
149, 13eqeltri 2536 . . . . . . 7  |-  B  e.  TopBases
15 txbasval 20670 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( ( topGen `
 B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B ) )
1614, 14, 15mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B )
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
1817txval 20628 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( B  tX  B )  =  (
topGen `  K ) )
1914, 14, 18mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( B 
tX  B )  =  ( topGen `  K )
2012, 16, 193eqtri 2488 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( topGen `  K )
218, 20syl6eleq 2550 . . . 4  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
) )
2217txbas 20631 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  K  e.  TopBases )
2314, 14, 22mp2an 683 . . . . 5  |-  K  e.  TopBases
24 eltg3 20026 . . . . 5  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2621, 25sylib 201 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2726adantl 472 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
281cnref1o 11326 . . . . . . . 8  |-  G :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
29 f1ofo 5844 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC
31 elssuni 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
323cnfldtopon 21852 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3332toponunii 19996 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
3431, 33syl6sseqr 3491 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  CC )
3534ad2antlr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  C_  CC )
36 foimacnv 5854 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC 
/\  A  C_  CC )  ->  ( G "
( `' G " A ) )  =  A )
3730, 35, 36sylancr 674 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  A )
38 simprr 771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' G " A )  = 
U. t )
3938imaeq2d 5187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  ( G " U. t ) )
40 imauni 6176 . . . . . . 7  |-  ( G
" U. t )  =  U_ w  e.  t  ( G "
w )
4139, 40syl6eq 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  = 
U_ w  e.  t  ( G " w
) )
4237, 41eqtr3d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  =  U_ w  e.  t  ( G " w ) )
4342imaeq2d 5187 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  =  ( `' F " U_ w  e.  t 
( G " w
) ) )
44 imaiun 6175 . . . 4  |-  ( `' F " U_ w  e.  t  ( G " w ) )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) )
4543, 44syl6eq 2512 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) ) )
46 ssdomg 7641 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( t  C_  K  ->  t  ~<_  K ) )
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  K )
48 omelon 8177 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
49 nnenom 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  ~~  om
5049ensymi 7645 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN
51 isnumi 8406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
5248, 50, 51mp2an 683 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  dom  card
53 qnnen 14315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  ~~  NN
54 xpen 7761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
5553, 53, 54mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
56 xpnnen 14312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
5755, 56entri 7649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
5857, 49entr2i 7650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
59 isnumi 8406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
6048, 58, 59mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
61 ioof 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
62 ffun 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  (,)
64 qssre 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  C_  RR
65 ressxr 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  RR*
6664, 65sstri 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  QQ  C_  RR*
67 xpss12 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6866, 66, 67mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6961fdmi 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
7068, 69sseqtr4i 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
71 fores 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7263, 70, 71mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
73 fodomnum 8514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
759, 74eqbrtri 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )
76 domentr 7654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  B  ~<_  NN )
7775, 57, 76mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  ~<_  NN
7814elexi 3067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
7978xpdom1 7697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  B ) )
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  B )
81 nnex 10643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
8281xpdom2 7693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
84 domtr 7648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  B )  /\  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8580, 83, 84mp2an 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
86 domentr 7654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  NN )
8785, 56, 86mp2an 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  B )  ~<_  NN
88 numdom 8495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  ( B  X.  B
)  ~<_  NN )  -> 
( B  X.  B
)  e.  dom  card )
8952, 87, 88mp2an 683 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  B )  e. 
dom  card
90 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
91 vex 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
92 vex 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9391, 92xpex 6622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
9490, 93fnmpt2i 6889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )
95 dffn4 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B
) -onto-> ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) )
9694, 95mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B ) -onto-> ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
97 fodomnum 8514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  B )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) : ( B  X.  B )
-onto->
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) )  ~<_  ( B  X.  B ) ) )
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )
99 domtr 7648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B )  ~<_  NN )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN )
10098, 87, 99mp2an 683 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN
10117, 100eqbrtri 4436 . . . . . 6  |-  K  ~<_  NN
102 domtr 7648 . . . . . 6  |-  ( ( t  ~<_  K  /\  K  ~<_  NN )  ->  t  ~<_  NN )
10347, 101, 102sylancl 673 . . . . 5  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  NN )
104103ad2antrl 739 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  t  ~<_  NN )
10517eleq2i 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) )
10690, 93elrnmpt2 6436 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y ) )
107105, 106bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  K  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
) )
108 elin 3629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F )
" y ) )  <-> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) ) )
109 mbff 22632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
110109adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  F : dom  F --> CC )
111 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Re  o.  F ) `  z )  =  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
112110, 111sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Re  o.  F
) `  z )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
113112eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  <->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  x
) )
114 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Im  o.  F ) `  z )  =  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
115110, 114sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Im  o.  F
) `  z )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
116115eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y  <->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  y ) )
117113, 116anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y ) ) )
118110ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
119 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
120 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Im `  w )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
121119, 120opeq12d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  <. (
Re `  w ) ,  ( Im `  w ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) >. )
1221cnrecnv 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  `' G  =  ( w  e.  CC  |->  <. ( Re `  w ) ,  ( Im `  w )
>. )
123 opex 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  _V
124121, 122, 123fvmpt 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
126125eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  <. ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  ( x  X.  y ) ) )
127118biantrurd 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
128126, 127bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( <. ( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
129 opelxp 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  y ) )
130 f1ocnv 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
131 f1ofn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' G  Fn  CC )
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' G  Fn  CC
133 elpreima 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' G  Fn  CC  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) )
135 imacnvcnv 5319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  =  ( G "
( x  X.  y
) )
136135eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
137134, 136bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
138128, 129, 1373bitr3g 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) )
139117, 138bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
140139pm5.32da 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
141 ref 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Re : CC
--> RR
142 fco 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
143141, 109, 142sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
144 ffn 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Re  o.  F )  Fn  dom  F )
145 elpreima 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
147 imf 13225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Im : CC
--> RR
148 fco 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
149147, 109, 148sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
150 ffn 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Im  o.  F )  Fn  dom  F )
151 elpreima 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
153146, 152anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) ) )
154 anandi 842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
155153, 154syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
156155adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
157 ffn 5751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
158 elpreima 6025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) ) )
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
160159adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
161140, 156, 1603bitr4d 293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
162108, 161syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) "
y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
163162eqrdv 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  =  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
164 ismbfcn 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
166165ibi 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
167166simpld 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
168 ismbf 22635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) )
170167, 169mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
171170adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
172 imassrn 5198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
1739, 172eqsstri 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ran  (,)
174 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
175173, 174sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ran  (,) )
176 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
177171, 175, 176sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
178166simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
179 ismbf 22635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol ) )
181178, 180mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol )
182181adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
183 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
184173, 183sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ran  (,) )
185 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
186182, 184, 185sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
187 inmbl 22544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" y )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  e.  dom  vol )
188177, 186, 187syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  e.  dom  vol )
189163, 188eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' F " ( G "
( x  X.  y
) ) )  e. 
dom  vol )
190 imaeq2 5183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( G " w )  =  ( G " (
x  X.  y ) ) )
191190imaeq2d 5187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( `' F " ( G
" w ) )  =  ( `' F " ( G " (
x  X.  y ) ) ) )
192191eleq1d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  (
( `' F "
( G " w
) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  e.  dom  vol )
)
193189, 192syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
)
194193rexlimdvva 2898 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
)  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
195107, 194syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( w  e.  K  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
196195ralrimiv 2812 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
197 ssralv 3505 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  ( A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
)
198196, 197mpan9 476 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  t  C_  K )  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
199198ad2ant2r 758 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
200 iunmbl2 22559 . . . 4  |-  ( ( t  ~<_  NN  /\  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
201104, 199, 200syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  U_ w  e.  t  ( `' F " ( G " w
) )  e.  dom  vol )
20245, 201eqeltrd 2540 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  e. 
dom  vol )
20327, 202exlimddv 1792 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   <.cop 3986   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4416    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   "cima 4856    o. ccom 4857   Oncon0 5442   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   omcom 6719    ~~ cen 7592    ~<_ cdom 7593   cardccrd 8395   CCcc 9563   RRcr 9564   _ici 9567    + caddc 9568    x. cmul 9570   RR*cxr 9700   NNcn 10637   QQcq 11293   (,)cioo 11664   Recre 13209   Imcim 13210   TopOpenctopn 15369   topGenctg 15385  ℂfldccnfld 19019   TopBasesctb 19969    Cn ccn 20289    tX ctx 20624   Homeochmeo 20817   volcvol 22464  MblFncmbf 22621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-omul 7213  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-ovol 22465  df-vol 22467  df-mbf 22626
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  22661
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