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Theorem mbfimaopnlem 22553
Description: Lemma for mbfimaopn 22554. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn.2  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
mbfimaopn.3  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
mbfimaopn.4  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, J, y
Allowed substitution hints:    A( y)    K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables  t 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3cnrehmeo 21923 . . . . . . 7  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) Homeo J )
5 hmeocn 20717 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  ->  G  e.  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
7 cnima 20223 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  A  e.  J
)  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
86, 7mpan 674 . . . . 5  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
109fveq2i 5828 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
1110tgqioo 21760 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  B )
1211, 11oveq12i 6261 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)
13 qtopbas 21722 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
149, 13eqeltri 2502 . . . . . . 7  |-  B  e.  TopBases
15 txbasval 20563 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( ( topGen `
 B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B ) )
1614, 14, 15mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B )
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
1817txval 20521 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( B  tX  B )  =  (
topGen `  K ) )
1914, 14, 18mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( B 
tX  B )  =  ( topGen `  K )
2012, 16, 193eqtri 2454 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( topGen `  K )
218, 20syl6eleq 2516 . . . 4  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
) )
2217txbas 20524 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  K  e.  TopBases )
2314, 14, 22mp2an 676 . . . . 5  |-  K  e.  TopBases
24 eltg3 19919 . . . . 5  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2621, 25sylib 199 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2726adantl 467 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
281cnref1o 11248 . . . . . . . 8  |-  G :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
29 f1ofo 5781 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC
31 elssuni 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
323cnfldtopon 21745 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3332toponunii 19889 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
3431, 33syl6sseqr 3454 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  CC )
3534ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  C_  CC )
36 foimacnv 5791 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC 
/\  A  C_  CC )  ->  ( G "
( `' G " A ) )  =  A )
3730, 35, 36sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  A )
38 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' G " A )  = 
U. t )
3938imaeq2d 5130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  ( G " U. t ) )
40 imauni 6110 . . . . . . 7  |-  ( G
" U. t )  =  U_ w  e.  t  ( G "
w )
4139, 40syl6eq 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  = 
U_ w  e.  t  ( G " w
) )
4237, 41eqtr3d 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  =  U_ w  e.  t  ( G " w ) )
4342imaeq2d 5130 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  =  ( `' F " U_ w  e.  t 
( G " w
) ) )
44 imaiun 6109 . . . 4  |-  ( `' F " U_ w  e.  t  ( G " w ) )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) )
4543, 44syl6eq 2478 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) ) )
46 ssdomg 7569 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( t  C_  K  ->  t  ~<_  K ) )
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  K )
48 omelon 8104 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
49 nnenom 12143 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  ~~  om
5049ensymi 7573 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN
51 isnumi 8332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
5248, 50, 51mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  dom  card
53 qnnen 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  ~~  NN
54 xpen 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
5553, 53, 54mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
56 xpnnen 14206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
5755, 56entri 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
5857, 49entr2i 7578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
59 isnumi 8332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
6048, 58, 59mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
61 ioof 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
62 ffun 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  (,)
64 qssre 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  C_  RR
65 ressxr 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  RR*
6664, 65sstri 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  QQ  C_  RR*
67 xpss12 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6866, 66, 67mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6961fdmi 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
7068, 69sseqtr4i 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
71 fores 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7263, 70, 71mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
73 fodomnum 8439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
759, 74eqbrtri 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )
76 domentr 7582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  B  ~<_  NN )
7775, 57, 76mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  ~<_  NN
7814elexi 3032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
7978xpdom1 7624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  B ) )
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  B )
81 nnex 10566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
8281xpdom2 7620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
84 domtr 7576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  B )  /\  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8580, 83, 84mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
86 domentr 7582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  NN )
8785, 56, 86mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  B )  ~<_  NN
88 numdom 8420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  ( B  X.  B
)  ~<_  NN )  -> 
( B  X.  B
)  e.  dom  card )
8952, 87, 88mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  B )  e. 
dom  card
90 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
91 vex 3025 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
92 vex 3025 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9391, 92xpex 6553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
9490, 93fnmpt2i 6820 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )
95 dffn4 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B
) -onto-> ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) )
9694, 95mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B ) -onto-> ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
97 fodomnum 8439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  B )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) : ( B  X.  B )
-onto->
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) )  ~<_  ( B  X.  B ) ) )
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )
99 domtr 7576 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B )  ~<_  NN )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN )
10098, 87, 99mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN
10117, 100eqbrtri 4386 . . . . . 6  |-  K  ~<_  NN
102 domtr 7576 . . . . . 6  |-  ( ( t  ~<_  K  /\  K  ~<_  NN )  ->  t  ~<_  NN )
10347, 101, 102sylancl 666 . . . . 5  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  NN )
104103ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  t  ~<_  NN )
10517eleq2i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) )
10690, 93elrnmpt2 6367 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y ) )
107105, 106bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  K  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
) )
108 elin 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F )
" y ) )  <-> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) ) )
109 mbff 22525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
110109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  F : dom  F --> CC )
111 fvco3 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Re  o.  F ) `  z )  =  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
112110, 111sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Re  o.  F
) `  z )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
113112eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  <->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  x
) )
114 fvco3 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Im  o.  F ) `  z )  =  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
115110, 114sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Im  o.  F
) `  z )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
116115eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y  <->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  y ) )
117113, 116anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y ) ) )
118110ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
119 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
120 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Im `  w )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
121119, 120opeq12d 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  <. (
Re `  w ) ,  ( Im `  w ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) >. )
1221cnrecnv 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  `' G  =  ( w  e.  CC  |->  <. ( Re `  w ) ,  ( Im `  w )
>. )
123 opex 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  _V
124121, 122, 123fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
126125eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  <. ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  ( x  X.  y ) ) )
127118biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
128126, 127bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( <. ( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
129 opelxp 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  y ) )
130 f1ocnv 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
131 f1ofn 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' G  Fn  CC )
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' G  Fn  CC
133 elpreima 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' G  Fn  CC  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) )
135 imacnvcnv 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  =  ( G "
( x  X.  y
) )
136135eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
137134, 136bitr3i 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
138128, 129, 1373bitr3g 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) )
139117, 138bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
140139pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
141 ref 13119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Re : CC
--> RR
142 fco 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
143141, 109, 142sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
144 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Re  o.  F )  Fn  dom  F )
145 elpreima 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
147 imf 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Im : CC
--> RR
148 fco 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
149147, 109, 148sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
150 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Im  o.  F )  Fn  dom  F )
151 elpreima 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
153146, 152anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) ) )
154 anandi 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
155153, 154syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
156155adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
157 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
158 elpreima 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) ) )
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
160159adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
161140, 156, 1603bitr4d 288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
162108, 161syl5bb 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) "
y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
163162eqrdv 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  =  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
164 ismbfcn 22529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
166165ibi 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
167166simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
168 ismbf 22528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) )
170167, 169mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
171170adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
172 imassrn 5141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
1739, 172eqsstri 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ran  (,)
174 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
175173, 174sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ran  (,) )
176 rsp 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
177171, 175, 176sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
178166simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
179 ismbf 22528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol ) )
181178, 180mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol )
182181adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
183 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
184173, 183sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ran  (,) )
185 rsp 2731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
186182, 184, 185sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
187 inmbl 22437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" y )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  e.  dom  vol )
188177, 186, 187syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  e.  dom  vol )
189163, 188eqeltrrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' F " ( G "
( x  X.  y
) ) )  e. 
dom  vol )
190 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( G " w )  =  ( G " (
x  X.  y ) ) )
191190imaeq2d 5130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( `' F " ( G
" w ) )  =  ( `' F " ( G " (
x  X.  y ) ) ) )
192191eleq1d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  (
( `' F "
( G " w
) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  e.  dom  vol )
)
193189, 192syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
)
194193rexlimdvva 2863 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
)  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
195107, 194syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( w  e.  K  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
196195ralrimiv 2777 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
197 ssralv 3468 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  ( A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
)
198196, 197mpan9 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  t  C_  K )  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
199198ad2ant2r 751 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
200 iunmbl2 22452 . . . 4  |-  ( ( t  ~<_  NN  /\  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
201104, 199, 200syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  U_ w  e.  t  ( `' F " ( G " w
) )  e.  dom  vol )
20245, 201eqeltrd 2506 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  e. 
dom  vol )
20327, 202exlimddv 1774 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    i^i cin 3378    C_ wss 3379   ~Pcpw 3924   <.cop 3947   U.cuni 4162   U_ciun 4242   class class class wbr 4366    X. cxp 4794   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797    |` cres 4798   "cima 4799    o. ccom 4800   Oncon0 5385   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -->wf 5540   -onto->wfo 5542   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251   omcom 6650    ~~ cen 7521    ~<_ cdom 7522   cardccrd 8321   CCcc 9488   RRcr 9489   _ici 9492    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625   NNcn 10560   QQcq 11215   (,)cioo 11586   Recre 13104   Imcim 13105   TopOpenctopn 15263   topGenctg 15279  ℂfldccnfld 18913   TopBasesctb 19862    Cn ccn 20182    tX ctx 20517   Homeochmeo 20710   volcvol 22357  MblFncmbf 22514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  22554
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