MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfimaopn2 21251
Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn2.2  |-  K  =  ( Jt  B )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfimaopn2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  B )
21eleq2i 2529 . . . 4  |-  ( C  e.  K  <->  C  e.  ( Jt  B ) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
43cnfldtop 20479 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
5 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  C_  CC )
6 cnex 9464 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
7 ssexg 4536 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  e. 
_V )
9 elrest 14468 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
104, 8, 9sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
112, 10syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
12 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F : A --> B )
13 ffun 5659 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
14 inpreima 5929 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
163mbfimaopn 21250 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
17163ad2antl1 1150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
18 fimacnv 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
19 fdm 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2018, 19eqtr4d 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  dom  F )
2112, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  =  dom  F )
22 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F  e. MblFn )
23 mbfdm 21222 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2521, 24eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  e.  dom  vol )
26 inmbl 21139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " B )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) )  e. 
dom  vol )
2717, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " B ) )  e.  dom  vol )
2815, 27eqeltrd 2539 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
29 imaeq2 5263 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  =  ( `' F " ( u  i^i  B
) ) )
3029eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  (
( `' F " C )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
)
3128, 30syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( C  =  ( u  i^i  B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3231rexlimdva 2937 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3311, 32sylbid 215 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3433imp 429 1  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    i^i cin 3425    C_ wss 3426   `'ccnv 4937   dom cdm 4938   "cima 4941   Fun wfun 5510   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   ↾t crest 14461   TopOpenctopn 14462  ℂfldccnfld 17927   Topctop 18614   volcvol 21063  MblFncmbf 21210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cc 8705  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4361  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-ovol 21064  df-vol 21065  df-mbf 21215
This theorem is referenced by:  cncombf  21252
  Copyright terms: Public domain W3C validator