MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfimaopn2 22233
Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn2.2  |-  K  =  ( Jt  B )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfimaopn2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  B )
21eleq2i 2532 . . . 4  |-  ( C  e.  K  <->  C  e.  ( Jt  B ) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
43cnfldtop 21460 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
5 simp3 996 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  C_  CC )
6 cnex 9562 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
7 ssexg 4583 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  e. 
_V )
9 elrest 14920 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
104, 8, 9sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
112, 10syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
12 simpl2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F : A --> B )
13 ffun 5715 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
14 inpreima 5990 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
163mbfimaopn 22232 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
17163ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
18 fimacnv 5995 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
19 fdm 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2018, 19eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  dom  F )
2112, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  =  dom  F )
22 simpl1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F  e. MblFn )
23 mbfdm 22204 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2521, 24eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  e.  dom  vol )
26 inmbl 22121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " B )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) )  e. 
dom  vol )
2717, 25, 26syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " B ) )  e.  dom  vol )
2815, 27eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
29 imaeq2 5321 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  =  ( `' F " ( u  i^i  B
) ) )
3029eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  (
( `' F " C )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
)
3128, 30syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( C  =  ( u  i^i  B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3231rexlimdva 2946 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3311, 32sylbid 215 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3433imp 427 1  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   ↾t crest 14913   TopOpenctopn 14914  ℂfldccnfld 18618   Topctop 19564   volcvol 22044  MblFncmbf 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197
This theorem is referenced by:  cncombf  22234
  Copyright terms: Public domain W3C validator