MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Unicode version

Theorem mbfima 21085
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 21083 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
21biimpac 486 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
3 ioof 11379 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 fnovrn 6233 . . . 4  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
75, 6mp3an1 1301 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
8 imaeq2 5160 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( B (,) C
) ) )
98eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  (
( `' F "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
)
109rspccva 3067 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( B (,) C )  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
112, 7, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )  -> 
( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
12 ndmioo 11319 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
1312imaeq2d 5164 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  ( `' F " (/) ) )
14 ima0 5179 . . . . 5  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  (/) )
16 0mbl 20996 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
1715, 16syl6eqel 2526 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
1817adantl 466 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
1911, 18pm2.61dan 789 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409  (class class class)co 6086   RRcr 9273   RR*cxr 9409   (,)cioo 11292   volcvol 20922  MblFncmbf 21069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-xmet 17785  df-met 17786  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  21086  mbfres  21097  mbfmulc2lem  21100  mbfmax  21102  mbfposr  21105  mbfaddlem  21113  mbfsup  21117  mbfi1fseqlem4  21171  itg2monolem1  21203  itg2gt0  21213  itg2cnlem1  21214  itg2cnlem2  21215  mbfposadd  28392  itg2addnclem2  28397  iblabsnclem  28408  ftc1anclem1  28420  ftc1anclem5  28424  ftc1anclem6  28425
  Copyright terms: Public domain W3C validator