MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Unicode version

Theorem mbfima 21246
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 21244 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
21biimpac 486 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
3 ioof 11507 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 fnovrn 6351 . . . 4  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
75, 6mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
8 imaeq2 5276 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( B (,) C
) ) )
98eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  (
( `' F "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
)
109rspccva 3178 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( B (,) C )  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
112, 7, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )  -> 
( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
12 ndmioo 11441 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
1312imaeq2d 5280 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  ( `' F " (/) ) )
14 ima0 5295 . . . . 5  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  (/) )
16 0mbl 21157 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
1715, 16syl6eqel 2550 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
1817adantl 466 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
1911, 18pm2.61dan 789 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954    Fn wfn 5524   -->wf 5525  (class class class)co 6203   RRcr 9395   RR*cxr 9531   (,)cioo 11414   volcvol 21082  MblFncmbf 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xadd 11204  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-xmet 17938  df-met 17939  df-ovol 21083  df-vol 21084  df-mbf 21235
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  21247  mbfres  21258  mbfmulc2lem  21261  mbfmax  21263  mbfposr  21266  mbfaddlem  21274  mbfsup  21278  mbfi1fseqlem4  21332  itg2monolem1  21364  itg2gt0  21374  itg2cnlem1  21375  itg2cnlem2  21376  mbfposadd  28607  itg2addnclem2  28612  iblabsnclem  28623  ftc1anclem1  28635  ftc1anclem5  28639  ftc1anclem6  28640
  Copyright terms: Public domain W3C validator