MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Unicode version

Theorem mbfima 22205
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 22203 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
21biimpac 484 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
3 ioof 11625 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 fnovrn 6423 . . . 4  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
75, 6mp3an1 1309 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
8 imaeq2 5321 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( B (,) C
) ) )
98eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  (
( `' F "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
)
109rspccva 3206 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( B (,) C )  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
112, 7, 10syl2an 475 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )  -> 
( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
12 ndmioo 11559 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
1312imaeq2d 5325 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  ( `' F " (/) ) )
14 ima0 5340 . . . . 5  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  (/) )
16 0mbl 22116 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
1715, 16syl6eqel 2550 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
1817adantl 464 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
1911, 18pm2.61dan 789 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566  (class class class)co 6270   RRcr 9480   RR*cxr 9616   (,)cioo 11532   volcvol 22041  MblFncmbf 22189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-xmet 18607  df-met 18608  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  22206  mbfres  22217  mbfmulc2lem  22220  mbfmax  22222  mbfposr  22225  mbfaddlem  22233  mbfsup  22237  mbfi1fseqlem4  22291  itg2monolem1  22323  itg2gt0  22333  itg2cnlem1  22334  itg2cnlem2  22335  mbfposadd  30302  itg2addnclem2  30307  iblabsnclem  30318  ftc1anclem1  30330  ftc1anclem5  30334  ftc1anclem6  30335
  Copyright terms: Public domain W3C validator