MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Unicode version

Theorem mbfid 21806
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 5496 . . . . 5  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A
)
2 cnvi 5410 . . . . . . . 8  |-  `'  _I  =  _I
32imaeq1i 5334 . . . . . . 7  |-  ( `'  _I  " x )  =  (  _I  "
x )
4 imai 5349 . . . . . . 7  |-  (  _I  " x )  =  x
53, 4eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( `'  _I  " x )  =  x
65ineq1i 3696 . . . . 5  |-  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A )  =  ( x  i^i  A
)
71, 6eqtri 2496 . . . 4  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( x  i^i  A
)
8 ioof 11622 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5731 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
10 ovelrn 6435 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( x  e. 
ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z ) ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e. 
RR*  x  =  ( y (,) z ) )
12 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  =  ( y (,) z ) )
13 ioombl 21738 . . . . . . . . 9  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
1412, 13syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
)
1615rexlimivv 2960 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1711, 16sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  dom  vol )
18 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
19 inmbl 21715 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
2017, 18, 19syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
217, 20syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' (  _I  |`  A ) " x )  e. 
dom  vol )
2221ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A )
" x )  e. 
dom  vol )
23 f1oi 5851 . . . . 5  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
24 f1of 5816 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
26 mblss 21705 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 fss 5739 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> RR )
2825, 26, 27sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A ) : A --> RR )
29 ismbf 21800 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A ) : A --> RR  ->  (
(  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3028, 29syl 16 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( (  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3122, 30mpbird 232 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010    _I cid 4790    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587  (class class class)co 6284   RRcr 9491   RR*cxr 9627   (,)cioo 11529   volcvol 21638  MblFncmbf 21786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator