MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Unicode version

Theorem mbfid 22469
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 5344 . . . . 5  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A
)
2 cnvi 5260 . . . . . . . 8  |-  `'  _I  =  _I
32imaeq1i 5185 . . . . . . 7  |-  ( `'  _I  " x )  =  (  _I  "
x )
4 imai 5200 . . . . . . 7  |-  (  _I  " x )  =  x
53, 4eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( `'  _I  " x )  =  x
65ineq1i 3666 . . . . 5  |-  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A )  =  ( x  i^i  A
)
71, 6eqtri 2458 . . . 4  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( x  i^i  A
)
8 ioof 11732 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
10 ovelrn 6459 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( x  e. 
ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z ) ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e. 
RR*  x  =  ( y (,) z ) )
12 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  =  ( y (,) z ) )
13 ioombl 22395 . . . . . . . . 9  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
1412, 13syl6eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
)
1615rexlimivv 2929 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1711, 16sylbi 198 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  dom  vol )
18 id 23 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
19 inmbl 22372 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
2017, 18, 19syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
217, 20syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' (  _I  |`  A ) " x )  e. 
dom  vol )
2221ralrimiva 2846 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A )
" x )  e. 
dom  vol )
23 f1oi 5866 . . . . 5  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
24 f1of 5831 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
26 mblss 22362 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 fss 5754 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> RR )
2825, 26, 27sylancr 667 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A ) : A --> RR )
29 ismbf 22463 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A ) : A --> RR  ->  (
(  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3028, 29syl 17 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( (  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3122, 30mpbird 235 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985    _I cid 4764    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600  (class class class)co 6305   RRcr 9537   RR*cxr 9673   (,)cioo 11635   volcvol 22295  MblFncmbf 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator