MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem6 Structured version   Unicode version

Theorem mbfi1fseqlem6 22253
Description: Lemma for mbfi1fseq 22254. Verify that  G converges pointwise to  F, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, m, n, x, y, F    g, G, n, x    m, J    ph, m, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g)    G( y, m)    J( x, y, g, n)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfi1fseq.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3 mbfi1fseq.3 . . 3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
4 mbfi1fseq.4 . . 3  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 22251 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 22252 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  n
)  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
76ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
98recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
109abscld 13279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
112ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 11652 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1413simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1510, 14readdcld 9640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
16 arch 10813 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
18 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
19 nnz 10907 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
2019ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
21 nnuz 11141 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
22 1zzd 10916 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
23 halfcn 10776 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
25 halfre 10775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
26 0re 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
27 halfgt0 10777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2826, 25, 27ltleii 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
29 absid 13141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
3025, 28, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
31 halflt1 10778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3230, 31eqbrtri 4475 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
)
3424, 33expcnv 13687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  ~~>  0 )
3514recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  CC )
36 nnex 10562 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
3736mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V )
39 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
41 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )
42 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
43 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ j )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )
4540, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ j ) )
46 expcl 12187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
4723, 40, 46sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1  /  2
) ^ j )  e.  CC )
4845, 47eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  e.  CC )
4941oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
50 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
51 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )  e. 
_V
5249, 50, 51fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5445oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
5553, 54eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
5621, 22, 34, 35, 38, 48, 55climsubc2 13473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( F `  x )  -  0 ) )
5735subid1d 9939 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  -  0 )  =  ( F `  x
) )
5856, 57breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( F `  x
) )
5958adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6036mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
62 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  NN )
63 eluznn 11177 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  NN )
6462, 63sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN )
6564, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  =  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ j ) ) )
6614ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6764, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN0 )
68 reexpcl 12186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  RR )
6925, 67, 68sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  e.  RR )
7066, 69resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  e.  RR )
7165, 70eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  e.  RR )
72 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( G `  n )  =  ( G `  j ) )
7372fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 j ) `  x ) )
74 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )
75 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  j ) `
 x )  e. 
_V
7673, 74, 75fvmpt 5956 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) ) `  j
)  =  ( ( G `  j ) `
 x ) )
7764, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( G `  j ) `  x
) )
785ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  G : NN --> dom  S.1 )
7978, 64ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  e.  dom  S.1 )
80 i1ff 22209 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  j )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
828ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  RR )
8381, 82ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  e.  RR )
8477, 83eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  e.  RR )
8535ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
86 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
87 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
8886, 67, 87sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
8988nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
9089recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
9188nnne0d 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  =/=  0
)
9285, 90, 91divcan4d 10347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( F `  x ) )
9392eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
94 2cnd 10629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  CC )
95 2ne0 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  =/=  0
)
97 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  j  e.  ZZ )
9897adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  ZZ )
9994, 96, 98exprecd 12321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  =  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) )
10093, 99oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
10166, 89remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )
102101recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  CC )
103 1cnd 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  CC )
104102, 103, 90, 91divsubdird 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
105100, 104eqtr4d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  /  ( 2 ^ j ) ) )
106 fllep1 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  +  1 ) )
107101, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) )
108 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  RR )
109 reflcl 11936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  e.  RR )
110101, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR )
111101, 108, 110lesubaddd 10170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) ) )
112107, 111mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
113 peano2rem 9905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  -  1 )  e.  RR )
114101, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  e.  RR )
11588nngt0d 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <  (
2 ^ j ) )
116 lediv1 10428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
117114, 110, 89, 115, 116syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
118112, 117mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
1201, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 22249 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
12164, 120syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
122121fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x ) )
123 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j J x )  e. 
_V
124 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
125123, 124ifex 4013 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j )  e.  _V
126 c0ex 9607 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
127125, 126ifex 4013 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e.  _V
128 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
129128fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13082, 127, 129sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13177, 122, 1303eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13210ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
13315ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
13464nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  RR )
13511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
136135, 12sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
137136simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
138132, 66addge01d 10161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) ) )
139137, 138mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) )
14062adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
141140nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
142 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
143133, 141, 142ltled 9750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  k )
144 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  k  <_  j )
145144adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  <_  j
)
146133, 141, 134, 143, 145letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  j )
147132, 133, 134, 139, 146letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  j )
14882, 134absled 13274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  <_  j  <->  (
-u j  <_  x  /\  x  <_  j ) ) )
149147, 148mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) )
150149simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  <_  x
)
151149simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  <_  j
)
152134renegcld 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  e.  RR )
153 elicc2 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
154152, 134, 153syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
15582, 150, 151, 154mpbir3and 1179 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  (
-u j [,] j
) )
156155iftrued 3952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  =  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) )
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
158157fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
159 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  m  =  j )
160159oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ j ) )
161158, 160oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )
162161fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
163162, 160oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
164 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  e. 
_V
165163, 3, 164ovmpt2a 6432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
16664, 82, 165syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
167110, 88nndivred 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  e.  RR )
168 flle 11939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )
169101, 168syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )
170 ledivmul2 10442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
171110, 66, 89, 115, 170syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
172169, 171mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  ( F `  x )
)
1739ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  CC )
174173absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
17566, 132addge02d 10162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( abs `  x
)  <->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) ) )
176174, 175mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) )
17766, 133, 134, 176, 146letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  j
)
178167, 66, 134, 172, 177letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  j
)
179166, 178eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  <_  j
)
180179iftrued 3952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( j J x ) )
181180, 166eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
182131, 156, 1813eqtrd 2502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
183119, 65, 1823brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) ) `  j ) )
184182, 172eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  <_ 
( F `  x
) )
18518, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184climsqz 13475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
18617, 185rexlimddv 2953 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( F `  x
) )
187186ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
18836mptex 6144 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u m [,] m ) ,  if ( ( m J x )  <_  m ,  ( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
1894, 188eqeltri 2541 . . 3  |-  G  e. 
_V
190 feq1 5719 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  G : NN --> dom  S.1 ) )
191 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
192191breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  <->  0p  oR  <_  ( G `
 n ) ) )
193 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
194191, 193breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) )  <->  ( G `  n )  oR  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
195192, 194anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
196195ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
197191fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 n ) `  x ) )
198197mpteq2dv 4544 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) )
199198breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
200199ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
201190, 196, 2003anbi123d 1299 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  <->  ( G : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
202189, 201spcev 3201 . 2  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2035, 7, 187, 202syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oRcofr 6538   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   |_cfl 11930   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> cli 13319  MblFncmbf 22149   S.1citg1 22150   0pc0p 22202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-0p 22203
This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  22254
  Copyright terms: Public domain W3C validator