Theorem mbfi1fseqlem6 22421

Description: Lemma for mbfi1fseq 22422. Verify that G converges pointwise to F, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfi1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3	|- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4	|- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem6	|- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   g, m, n, x, y, F   g, G, n, x   m, J   ph, m, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( g)   G( y, m)   J( x, y, g, n)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.1	. . 3 |- ( ph -> F e. MblFn )
2		mbfi1fseq.2	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3		mbfi1fseq.3	. . 3 |- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
4		mbfi1fseq.4	. . 3 |- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem4 22419	. 2 |- ( ph -> G : NN --> dom S.1 )
6	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem5 22420	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
7	6	ralrimiva 2820	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
8		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
9	8	recnd 9654	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
10	9	abscld 13418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` x ) e. RR )
11	2	ffvelrnda 6011	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12		elrege0 11683	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	11, 12	sylib 198	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
14	13	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	10, 14	readdcld 9655	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR )
16		arch 10835	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR -> E. k e. NN ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. k e. NN ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
18		eqid 2404	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` k )
19		nnz 10929	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
20	19	ad2antrl 728	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> k e. ZZ )
21		nnuz 11164	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22		1zzd 10938	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. ZZ )
23		halfcn 10798	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
25		halfre 10797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
26		0re 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
27		halfgt0 10799	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < ( 1 / 2 )
28	26, 25, 27	ltleii 9741	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
29		absid 13280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30	25, 28, 29	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
31		halflt1 10800	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) < 1
32	30, 31	eqbrtri 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1 )
34	24, 33	expcnv 13829	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ~~> 0 )
35	14	recnd 9654	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
36		nnex 10584	. . . . . . . . . 10 |- NN e. _V
37	36	mptex 6126	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) e. _V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) e. _V )
39		nnnn0 10845	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
41		oveq2 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
42		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
43		ovex 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. _V
44	41, 42, 43	fvmpt 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
46		expcl 12230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
47	23, 40, 46	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
48	45, 47	eqeltrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
49	41	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
50		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
51		ovex 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) e. _V
52	49, 50, 51	fvmpt 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
54	45	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` x ) - ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
55	53, 54	eqtr4d 2448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) ) )
56	21, 22, 34, 35, 38, 48, 55	climsubc2 13612	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( F ` x ) - 0 ) )
57	35	subid1d 9958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) - 0 ) = ( F ` x ) )
58	56, 57	breqtrd 4421	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( F ` x ) )
59	58	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( F ` x ) )
60	36	mptex 6126	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) e. _V )
62		simprl 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> k e. NN )
63		eluznn 11199	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN )
64	62, 63	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN )
65	64, 52	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
66	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
67	64, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN0 )
68		reexpcl 12229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. RR )
69	25, 67, 68	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. RR )
70	66, 69	resubcld 10030	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) e. RR )
71	65, 70	eqeltrd 2492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) e. RR )
72		fveq2 5851	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( G ` n ) = ( G ` j ) )
73	72	fveq1d 5853	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( ( G ` n ) ` x ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
74		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) )
75		fvex 5861	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` j ) ` x ) e. _V
76	73, 74, 75	fvmpt 5934	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
77	64, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
78	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> G : NN --> dom S.1 )
79	78, 64	ffvelrnd 6012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) e. dom S.1 )
80		i1ff 22377	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` j ) e. dom S.1 -> ( G ` j ) : RR --> RR )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) : RR --> RR )
82	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. RR )
83	81, 82	ffvelrnd 6012	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( G ` j ) ` x ) e. RR )
84	77, 83	eqeltrd 2492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) e. RR )
85	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
86		2nn 10736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
87		nnexpcl 12225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ j ) e. NN )
88	86, 67, 87	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. NN )
89	88	nnred 10593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. RR )
90	89	recnd 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. CC )
91	88	nnne0d 10623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) =/= 0 )
92	85, 90, 91	divcan4d 10369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) = ( F ` x ) )
93	92	eqcomd 2412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
94		2cnd 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 2 e. CC )
95		2ne0 10671	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 2 =/= 0 )
97		eluzelz 11138	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` k ) -> j e. ZZ )
98	97	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. ZZ )
99	94, 96, 98	exprecd 12364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
100	93, 99	oveq12d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) - ( 1 / ( 2 ^ j ) ) ) )
101	66, 89	remulcld 9656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR )
102	101	recnd 9654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. CC )
103		1cnd 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 1 e. CC )
104	102, 103, 90, 91	divsubdird 10402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) - ( 1 / ( 2 ^ j ) ) ) )
105	100, 104	eqtr4d 2448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) )
106		fllep1 11977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) )
107	101, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) )
108		1red 9643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 1 e. RR )
109		reflcl 11972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR )
110	101, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR )
111	101, 108, 110	lesubaddd 10191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) ) )
112	107, 111	mpbird 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
113		peano2rem 9924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR )
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR )
115	88	nngt0d 10622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 < ( 2 ^ j ) )
116		lediv1 10450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR /\ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 ^ j ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ j ) ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) ) )
117	114, 110, 89, 115, 116	syl112anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) ) )
118	112, 117	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
119	105, 118	eqbrtrd 4417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
120	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem2 22417	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( G ` j ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) )
121	64, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) )
122	121	fveq1d 5853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( G ` j ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) )
123		ovex 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( j J x ) e. _V
124		vex 3064	. . . . . . . . . . 11 |- j e. _V
125	123, 124	ifex 3955	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) e. _V
126		c0ex 9622	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
127	125, 126	ifex 3955	. . . . . . . . 9 |- if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) e. _V
128		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
129	128	fvmpt2 5943	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
130	82, 127, 129	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
131	77, 122, 130	3eqtrd 2449	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
132	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
133	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR )
134	64	nnred 10593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. RR )
135	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
136	135, 12	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
137	136	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
138	132, 66	addge01d 10182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( abs ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) ) )
139	137, 138	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) )
140	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. NN )
141	140	nnred 10593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. RR )
142		simplrr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
143	133, 141, 142	ltled 9767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) <_ k )
144		eluzle 11141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` k ) -> k <_ j )
145	144	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k <_ j )
146	133, 141, 134, 143, 145	letrd 9775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) <_ j )
147	132, 133, 134, 139, 146	letrd 9775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) <_ j )
148	82, 134	absled 13413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) <_ j <-> ( -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
149	147, 148	mpbid 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( -u j <_ x /\ x <_ j ) )
150	149	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> -u j <_ x )
151	149	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x <_ j )
152	134	renegcld 10029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> -u j e. RR )
153		elicc2 11645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> ( x e. ( -u j [,] j ) <-> ( x e. RR /\ -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
154	152, 134, 153	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( x e. ( -u j [,] j ) <-> ( x e. RR /\ -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
155	82, 150, 151, 154	mpbir3and 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. ( -u j [,] j ) )
156	155	iftrued 3895	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) = if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) )
157		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> y = x )
158	157	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
159		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> m = j )
160	159	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ j ) )
161	158, 160	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) = ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
162	161	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
163	162, 160	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
164		ovex 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) e. _V
165	163, 3, 164	ovmpt2a 6416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ x e. RR ) -> ( j J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
166	64, 82, 165	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( j J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
167	110, 88	nndivred 10627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) e. RR )
168		flle 11975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
169	101, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
170		ledivmul2 10464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR /\ ( F ` x ) e. RR /\ ( ( 2 ^ j ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ j ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) <-> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
171	110, 66, 89, 115, 170	syl112anc 1236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) <-> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
172	169, 171	mpbird 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) )
173	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. CC )
174	173	absge0d 13426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
175	66, 132	addge02d 10183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 0 <_ ( abs ` x ) <-> ( F ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) ) )
176	174, 175	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) )
177	66, 133, 134, 176, 146	letrd 9775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) <_ j )
178	167, 66, 134, 172, 177	letrd 9775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ j )
179	166, 178	eqbrtrd 4417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( j J x ) <_ j )
180	179	iftrued 3895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) = ( j J x ) )
181	180, 166	eqtrd 2445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
182	131, 156, 181	3eqtrd 2449	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
183	119, 65, 182	3brtr4d 4427	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) )
184	182, 172	eqbrtrd 4417	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) <_ ( F ` x ) )
185	18, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184	climsqz 13614	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
186	17, 185	rexlimddv 2902	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
187	186	ralrimiva 2820	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
188	36	mptex 6126	. . . 4 |- ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) ) e. _V
189	4, 188	eqeltri 2488	. . 3 |- G e. _V
190		feq1 5698	. . . 4 |- ( g = G -> ( g : NN --> dom S.1 <-> G : NN --> dom S.1 ) )
191		fveq1 5850	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
192	191	breq2d 4409	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( 0p oR <_ ( g ` n ) <-> 0p oR <_ ( G ` n ) ) )
193		fveq1 5850	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
194	191, 193	breq12d 4410	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) <-> ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
195	192, 194	anbi12d 711	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
196	195	ralbidv 2845	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) <-> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
197	191	fveq1d 5853	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) ` x ) = ( ( G ` n ) ` x ) )
198	197	mpteq2dv 4484	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) )
199	198	breq1d 4407	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
200	199	ralbidv 2845	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
201	190, 196, 200	3anbi123d 1303	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) <-> ( G : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) )
202	189, 201	spcev 3153	. 2 |- ( ( G : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
203	5, 7, 187, 202	syl3anc 1232	1 |- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   ifcif 3887   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   |-> cmpt2 6282   oRcofr 6522   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   + caddc 9527   x. cmul 9529   +oocpnf 9657   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   -ucneg 9844   / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   [,)cico 11586   [,]cicc 11587   |_cfl 11966   ^cexp 12212   abscabs 13218   ~~> cli 13458  MblFncmbf 22317   S.1citg1 22318   0pc0p 22370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cmp 20182  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-0p 22371

This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  22422