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Theorem mbfi1fseqlem6 22671
Description: Lemma for mbfi1fseq 22672. Verify that  G converges pointwise to  F, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, m, n, x, y, F    g, G, n, x    m, J    ph, m, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g)    G( y, m)    J( x, y, g, n)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfi1fseq.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3 mbfi1fseq.3 . . 3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
4 mbfi1fseq.4 . . 3  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 22669 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 22670 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  n
)  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
76ralrimiva 2801 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
98recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
109abscld 13491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
112ffvelrnda 6020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 11735 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1311, 12sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1413simpld 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1510, 14readdcld 9667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
16 arch 10863 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
18 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
19 nnz 10956 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
2019ad2antrl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
21 nnuz 11191 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
22 1zzd 10965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
23 halfcn 10826 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
25 halfre 10825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
26 0re 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
27 halfgt0 10827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2826, 25, 27ltleii 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
29 absid 13352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
3025, 28, 29mp2an 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
31 halflt1 10828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3230, 31eqbrtri 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
)
3424, 33expcnv 13915 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  ~~>  0 )
3514recnd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  CC )
36 nnex 10612 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
3736mptex 6134 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V )
39 nnnn0 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
4039adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
41 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )
42 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
43 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ j )  e. 
_V
4441, 42, 43fvmpt 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ j ) )
46 expcl 12287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
4723, 40, 46sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1  /  2
) ^ j )  e.  CC )
4845, 47eqeltrd 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  e.  CC )
4941oveq2d 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
50 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
51 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )  e. 
_V
5249, 50, 51fvmpt 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5352adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5445oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
5553, 54eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
5621, 22, 34, 35, 38, 48, 55climsubc2 13695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( F `  x )  -  0 ) )
5735subid1d 9972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  -  0 )  =  ( F `  x
) )
5856, 57breqtrd 4426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( F `  x
) )
5958adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6036mptex 6134 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  e.  _V
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
62 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  NN )
63 eluznn 11226 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  NN )
6462, 63sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN )
6564, 52syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  =  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ j ) ) )
6614ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6764, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN0 )
68 reexpcl 12286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  RR )
6925, 67, 68sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  e.  RR )
7066, 69resubcld 10044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  e.  RR )
7165, 70eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  e.  RR )
72 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( G `  n )  =  ( G `  j ) )
7372fveq1d 5865 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 j ) `  x ) )
74 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )
75 fvex 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  j ) `
 x )  e. 
_V
7673, 74, 75fvmpt 5946 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) ) `  j
)  =  ( ( G `  j ) `
 x ) )
7764, 76syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( G `  j ) `  x
) )
785ad3antrrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  G : NN --> dom  S.1 )
7978, 64ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  e.  dom  S.1 )
80 i1ff 22627 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  j )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
8179, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
828ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  RR )
8381, 82ffvelrnd 6021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  e.  RR )
8477, 83eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  e.  RR )
8535ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
86 2nn 10764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
87 nnexpcl 12282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
8886, 67, 87sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
8988nnred 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
9089recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
9188nnne0d 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  =/=  0
)
9285, 90, 91divcan4d 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( F `  x ) )
9392eqcomd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
94 2cnd 10679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  CC )
95 2ne0 10699 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  =/=  0
)
97 eluzelz 11165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  j  e.  ZZ )
9897adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  ZZ )
9994, 96, 98exprecd 12421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  =  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) )
10093, 99oveq12d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
10166, 89remulcld 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )
102101recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  CC )
103 1cnd 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  CC )
104102, 103, 90, 91divsubdird 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
105100, 104eqtr4d 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  /  ( 2 ^ j ) ) )
106 fllep1 12034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  +  1 ) )
107101, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) )
108 1red 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  RR )
109 reflcl 12029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  e.  RR )
110101, 109syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR )
111101, 108, 110lesubaddd 10207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) ) )
112107, 111mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
113 peano2rem 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  -  1 )  e.  RR )
114101, 113syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  e.  RR )
11588nngt0d 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <  (
2 ^ j ) )
116 lediv1 10467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
117114, 110, 89, 115, 116syl112anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
118112, 117mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
119105, 118eqbrtrd 4422 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
1201, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 22667 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
12164, 120syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
122121fveq1d 5865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x ) )
123 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j J x )  e. 
_V
124 vex 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
125123, 124ifex 3948 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j )  e.  _V
126 c0ex 9634 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
127125, 126ifex 3948 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e.  _V
128 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
129128fvmpt2 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13082, 127, 129sylancl 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13177, 122, 1303eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13210ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
13315ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
13464nnred 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  RR )
13511ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
136135, 12sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
137136simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
138132, 66addge01d 10198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) ) )
139137, 138mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) )
14062adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
141140nnred 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
142 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
143133, 141, 142ltled 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  k )
144 eluzle 11168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  k  <_  j )
145144adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  <_  j
)
146133, 141, 134, 143, 145letrd 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  j )
147132, 133, 134, 139, 146letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  j )
14882, 134absled 13485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  <_  j  <->  (
-u j  <_  x  /\  x  <_  j ) ) )
149147, 148mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) )
150149simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  <_  x
)
151149simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  <_  j
)
152134renegcld 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  e.  RR )
153 elicc2 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
154152, 134, 153syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
15582, 150, 151, 154mpbir3and 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  (
-u j [,] j
) )
156155iftrued 3888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  =  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) )
157 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
158157fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
159 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  m  =  j )
160159oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ j ) )
161158, 160oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )
162161fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
163162, 160oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
164 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  e. 
_V
165163, 3, 164ovmpt2a 6424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
16664, 82, 165syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
167110, 88nndivred 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  e.  RR )
168 flle 12032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )
169101, 168syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )
170 ledivmul2 10481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
171110, 66, 89, 115, 170syl112anc 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
172169, 171mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  ( F `  x )
)
1739ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  CC )
174173absge0d 13499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
17566, 132addge02d 10199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( abs `  x
)  <->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) ) )
176174, 175mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) )
17766, 133, 134, 176, 146letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  j
)
178167, 66, 134, 172, 177letrd 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  j
)
179166, 178eqbrtrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  <_  j
)
180179iftrued 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( j J x ) )
181180, 166eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
182131, 156, 1813eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
183119, 65, 1823brtr4d 4432 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) ) `  j ) )
184182, 172eqbrtrd 4422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  <_ 
( F `  x
) )
18518, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184climsqz 13697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
18617, 185rexlimddv 2882 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( F `  x
) )
187186ralrimiva 2801 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
18836mptex 6134 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u m [,] m ) ,  if ( ( m J x )  <_  m ,  ( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
1894, 188eqeltri 2524 . . 3  |-  G  e. 
_V
190 feq1 5708 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  G : NN --> dom  S.1 ) )
191 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
192191breq2d 4413 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  <->  0p  oR  <_  ( G `
 n ) ) )
193 fveq1 5862 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
194191, 193breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) )  <->  ( G `  n )  oR  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
195192, 194anbi12d 716 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
196195ralbidv 2826 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
197191fveq1d 5865 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 n ) `  x ) )
198197mpteq2dv 4489 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) )
199198breq1d 4411 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
200199ralbidv 2826 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
201190, 196, 2003anbi123d 1338 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  <->  ( G : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
202189, 201spcev 3140 . 2  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  oR  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2035, 7, 187, 202syl3anc 1267 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   ifcif 3880   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290    oRcofr 6527   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   +oocpnf 9669    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   |_cfl 12023   ^cexp 12269   abscabs 13290    ~~> cli 13541  MblFncmbf 22565   S.1citg1 22566   0pc0p 22620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-0p 22621
This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  22672
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