Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfi1fseqlem6 22757
 Description: Lemma for mbfi1fseq 22758. Verify that converges pointwise to , and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 MblFn
mbfi1fseq.2
mbfi1fseq.3
mbfi1fseq.4
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3 MblFn
2 mbfi1fseq.2 . . 3
3 mbfi1fseq.3 . . 3
4 mbfi1fseq.4 . . 3
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 22755 . 2
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 22756 . . 3
76ralrimiva 2809 . 2
8 simpr 468 . . . . . . . 8
98recnd 9687 . . . . . . 7
109abscld 13575 . . . . . 6
112ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
12 elrege0 11764 . . . . . . . 8
1311, 12sylib 201 . . . . . . 7
1413simpld 466 . . . . . 6
1510, 14readdcld 9688 . . . . 5
16 arch 10890 . . . . 5
1715, 16syl 17 . . . 4
18 eqid 2471 . . . . 5
19 nnz 10983 . . . . . 6
2019ad2antrl 742 . . . . 5
21 nnuz 11218 . . . . . . . 8
22 1zzd 10992 . . . . . . . 8
23 halfcn 10852 . . . . . . . . . 10
2423a1i 11 . . . . . . . . 9
25 halfre 10851 . . . . . . . . . . . 12
26 0re 9661 . . . . . . . . . . . . 13
27 halfgt0 10853 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 25, 27ltleii 9775 . . . . . . . . . . . 12
29 absid 13436 . . . . . . . . . . . 12
3025, 28, 29mp2an 686 . . . . . . . . . . 11
31 halflt1 10854 . . . . . . . . . . 11
3230, 31eqbrtri 4415 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
3424, 33expcnv 13999 . . . . . . . 8
3514recnd 9687 . . . . . . . 8
36 nnex 10637 . . . . . . . . . 10
3736mptex 6152 . . . . . . . . 9
3837a1i 11 . . . . . . . 8
39 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . 11
4039adantl 473 . . . . . . . . . 10
41 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
43 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9
46 expcl 12328 . . . . . . . . . 10
4723, 40, 46sylancr 676 . . . . . . . . 9
4845, 47eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
4941oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
50 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
51 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
5249, 50, 51fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10
5352adantl 473 . . . . . . . . 9
5445oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
5553, 54eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
5621, 22, 34, 35, 38, 48, 55climsubc2 13779 . . . . . . 7
5735subid1d 9994 . . . . . . 7
5856, 57breqtrd 4420 . . . . . 6
5958adantr 472 . . . . 5
6036mptex 6152 . . . . . 6
6160a1i 11 . . . . 5
62 simprl 772 . . . . . . . 8
63 eluznn 11252 . . . . . . . 8
6462, 63sylan 479 . . . . . . 7
6564, 52syl 17 . . . . . 6
6614ad2antrr 740 . . . . . . 7
6764, 39syl 17 . . . . . . . 8
68 reexpcl 12327 . . . . . . . 8
6925, 67, 68sylancr 676 . . . . . . 7
7066, 69resubcld 10068 . . . . . 6
7165, 70eqeltrd 2549 . . . . 5
72 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
7372fveq1d 5881 . . . . . . . 8
74 eqid 2471 . . . . . . . 8
75 fvex 5889 . . . . . . . 8
7673, 74, 75fvmpt 5963 . . . . . . 7
7764, 76syl 17 . . . . . 6
785ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9
7978, 64ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
80 i1ff 22713 . . . . . . . 8
8179, 80syl 17 . . . . . . 7
828ad2antrr 740 . . . . . . 7
8381, 82ffvelrnd 6038 . . . . . 6
8477, 83eqeltrd 2549 . . . . 5
8535ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
86 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . 14
87 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 67, 87sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13
8988nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12
9089recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
9188nnne0d 10676 . . . . . . . . . . 11
9285, 90, 91divcan4d 10411 . . . . . . . . . 10
9392eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
94 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
95 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10
97 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . 11
9897adantl 473 . . . . . . . . . 10
9994, 96, 98exprecd 12462 . . . . . . . . 9
10093, 99oveq12d 6326 . . . . . . . 8
10166, 89remulcld 9689 . . . . . . . . . 10
102101recnd 9687 . . . . . . . . 9
103 1cnd 9677 . . . . . . . . 9
104102, 103, 90, 91divsubdird 10444 . . . . . . . 8
105100, 104eqtr4d 2508 . . . . . . 7
106 fllep1 12070 . . . . . . . . . 10
107101, 106syl 17 . . . . . . . . 9
108 1red 9676 . . . . . . . . . 10
109 reflcl 12065 . . . . . . . . . . 11
110101, 109syl 17 . . . . . . . . . 10
111101, 108, 110lesubaddd 10231 . . . . . . . . 9
112107, 111mpbird 240 . . . . . . . 8
113 peano2rem 9961 . . . . . . . . . 10
114101, 113syl 17 . . . . . . . . 9
11588nngt0d 10675 . . . . . . . . 9
116 lediv1 10492 . . . . . . . . 9
117114, 110, 89, 115, 116syl112anc 1296 . . . . . . . 8
118112, 117mpbid 215 . . . . . . 7
119105, 118eqbrtrd 4416 . . . . . 6
1201, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 22753 . . . . . . . . . 10
12164, 120syl 17 . . . . . . . . 9
122121fveq1d 5881 . . . . . . . 8
123 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
124 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
125123, 124ifex 3940 . . . . . . . . . 10
126 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10
127125, 126ifex 3940 . . . . . . . . 9
128 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
129128fvmpt2 5972 . . . . . . . . 9
13082, 127, 129sylancl 675 . . . . . . . 8
13177, 122, 1303eqtrd 2509 . . . . . . 7
13210ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
13315ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
13464nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12
13511ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135, 12sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
137136simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13
138132, 66addge01d 10222 . . . . . . . . . . . . 13
139137, 138mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
14062adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
141140nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13
142 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14
143133, 141, 142ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13
144 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . 14
145144adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
146133, 141, 134, 143, 145letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12
147132, 133, 134, 139, 146letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
14882, 134absled 13569 . . . . . . . . . . 11
149147, 148mpbid 215 . . . . . . . . . 10
150149simpld 466 . . . . . . . . 9
151149simprd 470 . . . . . . . . 9
152134renegcld 10067 . . . . . . . . . 10
153 elicc2 11724 . . . . . . . . . 10
154152, 134, 153syl2anc 673 . . . . . . . . 9
15582, 150, 151, 154mpbir3and 1213 . . . . . . . 8
156155iftrued 3880 . . . . . . 7
157 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158157fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160159oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
161158, 160oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
162161fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
163162, 160oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
164 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
165163, 3, 164ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . . 11
16664, 82, 165syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
167110, 88nndivred 10680 . . . . . . . . . . 11
168 flle 12068 . . . . . . . . . . . . 13
169101, 168syl 17 . . . . . . . . . . . 12
170 ledivmul2 10506 . . . . . . . . . . . . 13
171110, 66, 89, 115, 170syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . 12
172169, 171mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
1739ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
174173absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13
17566, 132addge02d 10223 . . . . . . . . . . . . 13
176174, 175mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
17766, 133, 134, 176, 146letrd 9809 . . . . . . . . . . 11
178167, 66, 134, 172, 177letrd 9809 . . . . . . . . . 10
179166, 178eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
180179iftrued 3880 . . . . . . . 8
181180, 166eqtrd 2505 . . . . . . 7
182131, 156, 1813eqtrd 2509 . . . . . 6
183119, 65, 1823brtr4d 4426 . . . . 5
184182, 172eqbrtrd 4416 . . . . 5
18518, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184climsqz 13781 . . . 4
18617, 185rexlimddv 2875 . . 3
187186ralrimiva 2809 . 2
18836mptex 6152 . . . 4
1894, 188eqeltri 2545 . . 3
190 feq1 5720 . . . 4
191 fveq1 5878 . . . . . . 7
192191breq2d 4407 . . . . . 6
193 fveq1 5878 . . . . . . 7
194191, 193breq12d 4408 . . . . . 6
195192, 194anbi12d 725 . . . . 5
196195ralbidv 2829 . . . 4
197191fveq1d 5881 . . . . . . 7
198197mpteq2dv 4483 . . . . . 6
199198breq1d 4405 . . . . 5
200199ralbidv 2829 . . . 4
201190, 196, 2003anbi123d 1365 . . 3
202189, 201spcev 3127 . 2
2035, 7, 187, 202syl3anc 1292 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cofr 6549  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cico 11662  cicc 11663  cfl 12059  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625  MblFncmbf 22651  citg1 22652  c0p 22706 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-0p 22707 This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  22758
 Copyright terms: Public domain W3C validator