Theorem mbfi1fseqlem6 22671

Description: Lemma for mbfi1fseq 22672. Verify that G converges pointwise to F, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfi1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3	|- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4	|- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mbfi1fseqlem6	|- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   g, m, n, x, y, F   g, G, n, x   m, J   ph, m, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( g)   G( y, m)   J( x, y, g, n)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1fseq.1	. . 3 |- ( ph -> F e. MblFn )
2		mbfi1fseq.2	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3		mbfi1fseq.3	. . 3 |- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) )
4		mbfi1fseq.4	. . 3 |- G = ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem4 22669	. 2 |- ( ph -> G : NN --> dom S.1 )
6	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem5 22670	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
7	6	ralrimiva 2801	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
8		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
9	8	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
10	9	abscld 13491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` x ) e. RR )
11	2	ffvelrnda 6020	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12		elrege0 11735	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	11, 12	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
14	13	simpld 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	10, 14	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR )
16		arch 10863	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR -> E. k e. NN ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. k e. NN ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
18		eqid 2450	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` k )
19		nnz 10956	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
20	19	ad2antrl 733	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> k e. ZZ )
21		nnuz 11191	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22		1zzd 10965	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. ZZ )
23		halfcn 10826	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
25		halfre 10825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
26		0re 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
27		halfgt0 10827	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < ( 1 / 2 )
28	26, 25, 27	ltleii 9754	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
29		absid 13352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30	25, 28, 29	mp2an 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
31		halflt1 10828	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) < 1
32	30, 31	eqbrtri 4421	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1 )
34	24, 33	expcnv 13915	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ~~> 0 )
35	14	recnd 9666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
36		nnex 10612	. . . . . . . . . 10 |- NN e. _V
37	36	mptex 6134	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) e. _V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) e. _V )
39		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> j e. NN0 )
40	39	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> j e. NN0 )
41		oveq2 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
42		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
43		ovex 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. _V
44	41, 42, 43	fvmpt 5946	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
45	40, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / 2 ) ^ j ) )
46		expcl 12287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
47	23, 40, 46	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
48	45, 47	eqeltrd 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
49	41	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
50		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
51		ovex 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) e. _V
52	49, 50, 51	fvmpt 5946	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
53	52	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
54	45	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` x ) - ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
55	53, 54	eqtr4d 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` j ) ) )
56	21, 22, 34, 35, 38, 48, 55	climsubc2 13695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( F ` x ) - 0 ) )
57	35	subid1d 9972	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) - 0 ) = ( F ` x ) )
58	56, 57	breqtrd 4426	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( F ` x ) )
59	58	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( F ` x ) )
60	36	mptex 6134	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) e. _V )
62		simprl 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> k e. NN )
63		eluznn 11226	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN )
64	62, 63	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN )
65	64, 52	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) = ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) )
66	14	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
67	64, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. NN0 )
68		reexpcl 12286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. RR )
69	25, 67, 68	sylancr 668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. RR )
70	66, 69	resubcld 10044	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) e. RR )
71	65, 70	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) e. RR )
72		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( G ` n ) = ( G ` j ) )
73	72	fveq1d 5865	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( ( G ` n ) ` x ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
74		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) )
75		fvex 5873	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` j ) ` x ) e. _V
76	73, 74, 75	fvmpt 5946	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
77	64, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( G ` j ) ` x ) )
78	5	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> G : NN --> dom S.1 )
79	78, 64	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) e. dom S.1 )
80		i1ff 22627	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` j ) e. dom S.1 -> ( G ` j ) : RR --> RR )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) : RR --> RR )
82	8	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. RR )
83	81, 82	ffvelrnd 6021	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( G ` j ) ` x ) e. RR )
84	77, 83	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) e. RR )
85	35	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
86		2nn 10764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
87		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ j ) e. NN )
88	86, 67, 87	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. NN )
89	88	nnred 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. RR )
90	89	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) e. CC )
91	88	nnne0d 10651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 2 ^ j ) =/= 0 )
92	85, 90, 91	divcan4d 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) = ( F ` x ) )
93	92	eqcomd 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
94		2cnd 10679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 2 e. CC )
95		2ne0 10699	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 2 =/= 0 )
97		eluzelz 11165	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` k ) -> j e. ZZ )
98	97	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. ZZ )
99	94, 96, 98	exprecd 12421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
100	93, 99	oveq12d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) - ( 1 / ( 2 ^ j ) ) ) )
101	66, 89	remulcld 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR )
102	101	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. CC )
103		1cnd 9656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 1 e. CC )
104	102, 103, 90, 91	divsubdird 10419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) / ( 2 ^ j ) ) - ( 1 / ( 2 ^ j ) ) ) )
105	100, 104	eqtr4d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) )
106		fllep1 12034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) )
107	101, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) )
108		1red 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 1 e. RR )
109		reflcl 12029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR )
110	101, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR )
111	101, 108, 110	lesubaddd 10207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) + 1 ) ) )
112	107, 111	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
113		peano2rem 9938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR )
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR )
115	88	nngt0d 10650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 < ( 2 ^ j ) )
116		lediv1 10467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) e. RR /\ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR /\ ( ( 2 ^ j ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ j ) ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) ) )
117	114, 110, 89, 115, 116	syl112anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) <_ ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) ) )
118	112, 117	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) - 1 ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
119	105, 118	eqbrtrd 4422	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ j ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
120	1, 2, 3, 4	mbfi1fseqlem2 22667	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( G ` j ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) )
121	64, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( G ` j ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) )
122	121	fveq1d 5865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( G ` j ) ` x ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) )
123		ovex 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( j J x ) e. _V
124		vex 3047	. . . . . . . . . . 11 |- j e. _V
125	123, 124	ifex 3948	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) e. _V
126		c0ex 9634	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
127	125, 126	ifex 3948	. . . . . . . . 9 |- if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) e. _V
128		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
129	128	fvmpt2 5955	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
130	82, 127, 129	sylancl 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
131	77, 122, 130	3eqtrd 2488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) )
132	10	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
133	15	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) e. RR )
134	64	nnred 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. RR )
135	11	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
136	135, 12	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
137	136	simprd 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
138	132, 66	addge01d 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( abs ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) ) )
139	137, 138	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) )
140	62	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. NN )
141	140	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. RR )
142		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k )
143	133, 141, 142	ltled 9780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) <_ k )
144		eluzle 11168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` k ) -> k <_ j )
145	144	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k <_ j )
146	133, 141, 134, 143, 145	letrd 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) <_ j )
147	132, 133, 134, 139, 146	letrd 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( abs ` x ) <_ j )
148	82, 134	absled 13485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( abs ` x ) <_ j <-> ( -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
149	147, 148	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( -u j <_ x /\ x <_ j ) )
150	149	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> -u j <_ x )
151	149	simprd 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x <_ j )
152	134	renegcld 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> -u j e. RR )
153		elicc2 11696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> ( x e. ( -u j [,] j ) <-> ( x e. RR /\ -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
154	152, 134, 153	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( x e. ( -u j [,] j ) <-> ( x e. RR /\ -u j <_ x /\ x <_ j ) ) )
155	82, 150, 151, 154	mpbir3and 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. ( -u j [,] j ) )
156	155	iftrued 3888	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( x e. ( -u j [,] j ) , if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) , 0 ) = if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) )
157		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> y = x )
158	157	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
159		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> m = j )
160	159	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ j ) )
161	158, 160	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) = ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
162	161	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
163	162, 160	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = j /\ y = x ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
164		ovex 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) e. _V
165	163, 3, 164	ovmpt2a 6424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. NN /\ x e. RR ) -> ( j J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
166	64, 82, 165	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( j J x ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
167	110, 88	nndivred 10655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) e. RR )
168		flle 12032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
169	101, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) )
170		ledivmul2 10481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) e. RR /\ ( F ` x ) e. RR /\ ( ( 2 ^ j ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ j ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) <-> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
171	110, 66, 89, 115, 170	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) <-> ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) <_ ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) )
172	169, 171	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ ( F ` x ) )
173	9	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> x e. CC )
174	173	absge0d 13499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
175	66, 132	addge02d 10199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( 0 <_ ( abs ` x ) <-> ( F ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) ) )
176	174, 175	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) <_ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) )
177	66, 133, 134, 176, 146	letrd 9789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` x ) <_ j )
178	167, 66, 134, 172, 177	letrd 9789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) <_ j )
179	166, 178	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( j J x ) <_ j )
180	179	iftrued 3888	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) = ( j J x ) )
181	180, 166	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> if ( ( j J x ) <_ j , ( j J x ) , j ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
182	131, 156, 181	3eqtrd 2488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) = ( ( |_ ` ( ( F ` x ) x. ( 2 ^ j ) ) ) / ( 2 ^ j ) ) )
183	119, 65, 182	3brtr4d 4432	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` x ) - ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) )
184	182, 172	eqbrtrd 4422	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ` j ) <_ ( F ` x ) )
185	18, 20, 59, 61, 71, 84, 183, 184	climsqz 13697	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( k e. NN /\ ( ( abs ` x ) + ( F ` x ) ) < k ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
186	17, 185	rexlimddv 2882	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
187	186	ralrimiva 2801	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
188	36	mptex 6134	. . . 4 |- ( m e. NN |-> ( x e. RR |-> if ( x e. ( -u m [,] m ) , if ( ( m J x ) <_ m , ( m J x ) , m ) , 0 ) ) ) e. _V
189	4, 188	eqeltri 2524	. . 3 |- G e. _V
190		feq1 5708	. . . 4 |- ( g = G -> ( g : NN --> dom S.1 <-> G : NN --> dom S.1 ) )
191		fveq1 5862	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
192	191	breq2d 4413	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( 0p oR <_ ( g ` n ) <-> 0p oR <_ ( G ` n ) ) )
193		fveq1 5862	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
194	191, 193	breq12d 4414	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) <-> ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
195	192, 194	anbi12d 716	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
196	195	ralbidv 2826	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) <-> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
197	191	fveq1d 5865	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) ` x ) = ( ( G ` n ) ` x ) )
198	197	mpteq2dv 4489	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) )
199	198	breq1d 4411	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
200	199	ralbidv 2826	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
201	190, 196, 200	3anbi123d 1338	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) <-> ( G : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) ) )
202	189, 201	spcev 3140	. 2 |- ( ( G : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( G ` n ) /\ ( G ` n ) oR <_ ( G ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )
203	5, 7, 187, 202	syl3anc 1267	1 |- ( ph -> E. g ( g : NN --> dom S.1 /\ A. n e. NN ( 0p oR <_ ( g ` n ) /\ ( g ` n ) oR <_ ( g ` ( n + 1 ) ) ) /\ A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( g ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   ifcif 3880   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   oRcofr 6527   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   +oocpnf 9669   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   |_cfl 12023   ^cexp 12269   abscabs 13290   ~~> cli 13541  MblFncmbf 22565   S.1citg1 22566   0pc0p 22620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-0p 22621

This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  22672