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Theorem mbfi1fseqlem5 21994
Description: Lemma for mbfi1fseq 21996. Verify that  G describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
32ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7 2nn 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
9 nnexpcl 12159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1211nnred 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
136, 12remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
1411nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
1514nn0ge0d 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
16 mulge0 10082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
175, 12, 15, 16syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
18 flge0nn0 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
1913, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
2019nn0red 10865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  RR )
2119nn0ge0d 10867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
2211nngt0d 10591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
23 divge0 10423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
2625fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
2827oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
2926, 28oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
3029fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3130, 28oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
33 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
3431, 32, 33ovmpt2a 6428 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
3534adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
3624, 35breqtrrd 4479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A J x ) )
378nn0ge0d 10867 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
3837ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  A )
39 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( A J x )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  ( A J x )  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ) )
40 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  A  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ) )
4139, 40ifboth 3981 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( A J x )  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) )
4236, 38, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) )
43 0le0 10637 . . . . 5  |-  0  <_  0
44 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
45 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
0  <->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
4644, 45ifboth 3981 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
4742, 43, 46sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
4847ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
49 0re 9608 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
50 fnconstg 5779 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
52 df-0p 21945 . . . . . . 7  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
5352fneq1i 5681 . . . . . 6  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5451, 53mpbir 209 . . . . 5  |-  0p  Fn  CC
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0p  Fn  CC )
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 21993 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
5958ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  e. 
dom  S.1 )
60 i1ff 21951 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  A ) : RR --> RR )
61 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( G `  A ) : RR --> RR  ->  ( G `  A )  Fn  RR )
6259, 60, 613syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  Fn  RR )
63 cnex 9585 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6463a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
65 reex 9595 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6665a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
67 ax-resscn 9561 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
68 sseqin2 3722 . . . . 5  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
6967, 68mpbi 208 . . . 4  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
70 0pval 21946 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
7170adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 21991 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
7372fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
7473ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
75 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
76 pnfxr 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
77 icossre 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
7849, 76, 77mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
79 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
80 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
811, 79, 80syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8278, 81sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
83 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
84 nnexpcl 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
857, 83, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
8786nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
8882, 87remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
89 reflcl 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
9190, 86nndivred 10596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
9291ralrimivva 2888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
9332fmpt2 6862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
9492, 93sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
95 fovrn 6440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
9694, 95syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
97963expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
98 nnre 10555 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
9998ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
100 ifcl 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR )
10197, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  RR )
102 ifcl 3987 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  RR )
103101, 49, 102sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )
104 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
105104fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10675, 103, 105syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10774, 106eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10855, 62, 64, 66, 69, 71, 107ofrfval 6543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
10948, 108mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( G `  A )
)
11056, 1, 32mbfi1fseqlem1 21990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> ( 0 [,) +oo )
)
111110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  J : ( NN  X.  RR ) --> ( 0 [,) +oo ) )
112 peano2nn 10560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
114111, 113, 75fovrnd 6442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
115 elrege0 11639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) ) )
116114, 115sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) ) )
117116simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR )
118 min1 11401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  ( A J x ) )
11997, 99, 118syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A J x ) )
120 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1218ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN0 )
122 expp1 12153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
123120, 121, 122sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
124123oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
12535, 97eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
126125recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  CC )
12712recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
128 2cnd 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
129126, 127, 128mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
13020recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  CC )
13111nnne0d 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
132130, 127, 131divcan1d 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
133132oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
134124, 129, 1333eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
135 flle 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
13613, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
137 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
138 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
139137, 138pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
141 lemul1 10406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
14220, 13, 140, 141syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
143136, 142mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
144123oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
1456recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
146145, 127, 128mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
147144, 146eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
148143, 147breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
149113nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
150 nnexpcl 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( A  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
1517, 149, 150sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
152151nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
1536, 152remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR )
15413flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  ZZ )
155 2z 10908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
156 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
157154, 155, 156sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
158 flge 11922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
159153, 157, 158syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
160148, 159mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
161134, 160eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
162 reflcl 11913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
163153, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
164151nngt0d 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )
165 lemuldiv 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
166125, 163, 152, 164, 165syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
167161, 166mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
169168fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
170 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  m  =  ( A  +  1 ) )
171170oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
172169, 171oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
173172fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
174173, 171oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
175 ovex 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e. 
_V
176174, 32, 175ovmpt2a 6428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 ) J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
177113, 75, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
178167, 35, 1773brtr4d 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) )
179101, 97, 117, 119, 178letrd 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) )
180113nnred 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
181 min2 11402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  A
)
18297, 99, 181syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  A )
18399lep1d 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
184101, 99, 180, 182, 183letrd 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A  +  1 ) )
185 breq2 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
186 breq2 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
187185, 186ifboth 3981 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  (
( A  +  1 ) J x )  /\  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 ) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
188179, 184, 187syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
189188adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
190 iftrue 3951 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
191190adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
192180renegcld 9998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  e.  RR )
19399, 180lenegd 10143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( A  + 
1 )  <->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A ) )
194183, 193mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A )
195 iccss 11604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( A  +  1 )  <_  -u A  /\  A  <_  ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( -u A [,] A )  C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
196192, 180, 194, 183, 195syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u A [,] A ) 
C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
197196sselda 3509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
198 iftrue 3951 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  ->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
199197, 198syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
200189, 191, 1993brtr4d 4483 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
201 iffalse 3954 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
202201adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
203116simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) )
204149nn0ge0d 10867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  +  1 ) )
205 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  +  1 ) J x )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
206 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  ( A  +  1 )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
207205, 206ifboth 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  ( ( A  +  1 ) J x )  /\  0  <_  ( A  + 
1 ) )  -> 
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
208203, 204, 207syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
209 breq2 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  <->  0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
210 breq2 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
211209, 210ifboth 3981 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
212208, 43, 211sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
213212adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
214202, 213eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
215200, 214pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
216215ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
217 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  ( A  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( A  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
21858, 112, 217syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
219 i1ff 21951 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR )
220 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  Fn  RR )
221218, 219, 2203syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  Fn  RR )
222 inidm 3712 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
22356, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 21991 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
224223fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
225113, 224syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
226 ifcl 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  e.  RR )
227117, 180, 226syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
228 ifcl 3987 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
229227, 49, 228sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
230 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
231230fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23275, 229, 231syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
233225, 232eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23462, 221, 66, 66, 222, 107, 233ofrfval 6543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
235216, 234mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1 ) ) )
236109, 235jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    oRcofr 6534   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   [,)cico 11543   [,]cicc 11544   |_cfl 11907   ^cexp 12146  MblFncmbf 21891   S.1citg1 21892   0pc0p 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-0p 21945
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  21995
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