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Theorem mbfi1fseqlem5 22252
Description: Lemma for mbfi1fseq 22254. Verify that  G describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
32ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
9 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1211nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
136, 12remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
1411nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
1514nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
16 mulge0 10091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
175, 12, 15, 16syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
18 flge0nn0 11957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
1913, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
2019nn0red 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  RR )
2119nn0ge0d 10876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
2211nngt0d 10600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
23 divge0 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
2625fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
2827oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
2926, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
3029fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3130, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
33 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
3431, 32, 33ovmpt2a 6432 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
3534adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
3624, 35breqtrrd 4482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A J x ) )
378nn0ge0d 10876 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
3837ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  A )
39 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( ( A J x )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  ( A J x )  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ) )
40 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  A  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ) )
4139, 40ifboth 3980 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( A J x )  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) )
4236, 38, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) )
43 0le0 10646 . . . . 5  |-  0  <_  0
44 breq2 4460 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
45 breq2 4460 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
0  <->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
4644, 45ifboth 3980 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
4742, 43, 46sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
4847ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
49 0re 9613 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
50 fnconstg 5779 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
52 df-0p 22203 . . . . . . 7  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
5352fneq1i 5681 . . . . . 6  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5451, 53mpbir 209 . . . . 5  |-  0p  Fn  CC
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0p  Fn  CC )
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 22251 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
5958ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  e. 
dom  S.1 )
60 i1ff 22209 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  A ) : RR --> RR )
61 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( G `  A ) : RR --> RR  ->  ( G `  A )  Fn  RR )
6259, 60, 613syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  Fn  RR )
63 cnex 9590 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6463a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
65 reex 9600 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6665a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
67 ax-resscn 9566 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
68 sseqin2 3713 . . . . 5  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
6967, 68mpbi 208 . . . 4  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
70 0pval 22204 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
7170adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 22249 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
7372fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
7473ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
75 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
76 rge0ssre 11653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
78 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
791, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8076, 79sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
81 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
82 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
837, 81, 82sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
8483ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
8584nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
8680, 85remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
87 reflcl 11936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
8988, 84nndivred 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
9089ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
9132fmpt2 6866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
9290, 91sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
93 fovrn 6444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
9492, 93syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
95943expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
96 nnre 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
9796ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
9895, 97ifcld 3987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  RR )
99 ifcl 3986 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  RR )
10098, 49, 99sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )
101 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
102101fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10375, 100, 102syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10474, 103eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10555, 62, 64, 66, 69, 71, 104ofrfval 6547 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
10648, 105mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( G `  A )
)
10756, 1, 32mbfi1fseqlem1 22248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> ( 0 [,) +oo )
)
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  J : ( NN  X.  RR ) --> ( 0 [,) +oo ) )
109 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
111108, 110, 75fovrnd 6446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
112 elrege0 11652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) ) )
113111, 112sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) ) )
114113simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR )
115 min1 11414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  ( A J x ) )
11695, 97, 115syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A J x ) )
117 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1188ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN0 )
119 expp1 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
120117, 118, 119sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
121120oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
12235, 95eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
123122recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  CC )
12412recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
125 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
126123, 124, 125mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
12720recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  CC )
12811nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
129127, 124, 128divcan1d 10342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
130129oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
131121, 126, 1303eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
132 flle 11939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
13313, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
134 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
135 2pos 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
136134, 135pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
138 lemul1 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
13920, 13, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
140133, 139mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
141120oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
1426recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
143142, 124, 125mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
144141, 143eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
145140, 144breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
146110nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
147 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( A  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
1487, 146, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
149148nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
1506, 149remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR )
15113flcld 11938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  ZZ )
152 2z 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
153 zmulcl 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
154151, 152, 153sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
155 flge 11945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
156150, 154, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
157145, 156mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
158131, 157eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
159 reflcl 11936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
160150, 159syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
161148nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )
162 lemuldiv 10444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
163122, 160, 149, 161, 162syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
164158, 163mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
165 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
166165fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
167 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  m  =  ( A  +  1 ) )
168167oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
169166, 168oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
170169fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
171170, 168oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
172 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e. 
_V
173171, 32, 172ovmpt2a 6432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 ) J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
174110, 75, 173syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
175164, 35, 1743brtr4d 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) )
17698, 95, 114, 116, 175letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) )
177110nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
178 min2 11415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  A
)
17995, 97, 178syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  A )
18097lep1d 10497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
18198, 97, 177, 179, 180letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A  +  1 ) )
182 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
183 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
184182, 183ifboth 3980 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  (
( A  +  1 ) J x )  /\  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 ) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
185176, 181, 184syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
186185adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
187 iftrue 3950 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
188187adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
189177renegcld 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  e.  RR )
19097, 177lenegd 10152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( A  + 
1 )  <->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A ) )
191180, 190mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A )
192 iccss 11617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( A  +  1 )  <_  -u A  /\  A  <_  ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( -u A [,] A )  C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
193189, 177, 191, 180, 192syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u A [,] A ) 
C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
194193sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
195194iftrued 3952 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
196186, 188, 1953brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
197 iffalse 3953 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
198197adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
199113simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) )
200146nn0ge0d 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  +  1 ) )
201 breq2 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  +  1 ) J x )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
202 breq2 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  ( A  +  1 )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
203201, 202ifboth 3980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  ( ( A  +  1 ) J x )  /\  0  <_  ( A  + 
1 ) )  -> 
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
204199, 200, 203syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
205 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  <->  0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
206 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
207205, 206ifboth 3980 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
208204, 43, 207sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
209208adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
210198, 209eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
211196, 210pm2.61dan 791 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
212211ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
213 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  ( A  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( A  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
21458, 109, 213syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
215 i1ff 22209 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR )
216 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  Fn  RR )
217214, 215, 2163syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  Fn  RR )
218 inidm 3703 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
21956, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 22249 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
220219fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
221110, 220syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
222114, 177ifcld 3987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
223 ifcl 3986 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
224222, 49, 223sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
225 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
226225fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
22775, 224, 226syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
228221, 227eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
22962, 217, 66, 66, 218, 104, 228ofrfval 6547 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
230212, 229mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1 ) ) )
231106, 230jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  oR  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oRcofr 6538   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   |_cfl 11930   ^cexp 12169  MblFncmbf 22149   S.1citg1 22150   0pc0p 22202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-0p 22203
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  22253
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