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Theorem mbfi1fseqlem3 22416
Description: Lemma for mbfi1fseq 22420. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
4 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
52, 3, 4syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
61, 5sseldi 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
7 2nn 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
9 nnexpcl 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
1211nnred 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
136, 12remulcld 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
14 reflcl 11970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
1615, 11nndivred 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
1716ralrimivva 2825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
18 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
1918fmpt2 6851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
2017, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
21 fovrn 6426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
2220, 21syl3an1 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
23223expa 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
24 nnre 10583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
26 nnnn0 10843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
27 nnexpcl 12223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
287, 26, 27sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
30 nnre 10583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
31 nngt0 10605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
3230, 31jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
3329, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
34 lemul1 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  ( ( A J x )  <_  A 
<->  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3523, 25, 33, 34syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A J x )  <_  A  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
3635biimpa 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN )
3837adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  A  e.  NN )
39 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  x  e.  RR )
40 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
4140fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
42 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
4342oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
4441, 43oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
4544fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
4645, 43oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
47 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
4846, 18, 47ovmpt2a 6414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
4938, 39, 48syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
5049oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
512adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
5251ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
53 elrege0 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
5554simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5629nnred 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
5755, 56remulcld 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
5829nnnn0d 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
5958nn0ge0d 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
60 mulge0 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
6154, 56, 59, 60syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
62 flge0nn0 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6357, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6564nn0cnd 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  CC )
6629adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
6766nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  CC )
6866nnne0d 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  =/=  0 )
6965, 67, 68divcan1d 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7050, 69eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7170, 64eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN0 )
72 nn0uz 11161 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7371, 72syl6eleq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
74 nnmulcl 10599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
7528, 74mpdan 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
7877nnzd 11007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ZZ )
79 elfz5 11734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <-> 
( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
8073, 78, 79syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
8136, 80mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
82 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
83 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )
84 ovex 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
8582, 83, 84fvmpt 5932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
8681, 85syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
8723adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  RR )
8887recnd 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  CC )
8988, 67, 68divcan4d 10367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( A J x ) )
9086, 89eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( A J x ) )
91 elfznn0 11826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
9291nn0red 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  RR )
9328adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
94 nndivre 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( m  / 
( 2 ^ A
) )  e.  RR )
9592, 93, 94syl2anr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
9695, 83fmptd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) --> RR )
97 ffn 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) --> RR 
->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
9998adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
10099adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
101 fnfvelrn 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
102100, 81, 101syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
10390, 102eqeltrrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
10476nnnn0d 10893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN0 )
105104, 72syl6eleq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
106 eluzfz2 11748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
108 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
109 ovex 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
110108, 83, 109fvmpt 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
111107, 110syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
11225recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
11329nncnd 10592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
11429nnne0d 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
115112, 113, 114divcan4d 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  x.  (
2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  A )
116111, 115eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  A )
117 fnfvelrn 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( A  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
11899, 107, 117syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
119116, 118eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
120119adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( A J x )  <_  A )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
121103, 120ifclda 3917 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
122 eluzfz1 11747 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
123105, 122syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
124 oveq1 6285 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( 0  / 
( 2 ^ A
) ) )
125 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
126124, 83, 125fvmpt 5932 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
127123, 126syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
128 nncn 10584 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
129 nnne0 10609 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
130128, 129div0d 10360 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
13129, 130syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
132127, 131eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  0 )
133 fnfvelrn 6006 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 0 )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
13499, 123, 133syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
135132, 134eqeltrrd 2491 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
136121, 135ifcld 3928 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  ran  ( m  e.  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
137 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
138136, 137fmptd 6033 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) )
139 mbfi1fseq.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
140 mbfi1fseq.4 . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
141139, 2, 18, 140mbfi1fseqlem2 22415 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
142141adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
143142feq1d 5700 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  <->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) ) )
144138, 143mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   ifcif 3885   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ran crn 4824    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527   +oocpnf 9655    < clt 9658    <_ cle 9659   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   [,)cico 11584   [,]cicc 11585   ...cfz 11726   |_cfl 11964   ^cexp 12210  MblFncmbf 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  22417
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