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Theorem mbfi1fseqlem3 21323
Description: Lemma for mbfi1fseq 21327. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 0re 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
7 ffvelrn 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
85, 6, 7syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
94, 8sseldi 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
10 2nn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
11 nnnn0 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
12 nnexpcl 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
1413ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
1514nnred 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
169, 15remulcld 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
17 reflcl 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
1918, 14nndivred 10476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
2019ralrimivva 2908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
21 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
2221fmpt2 6746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
24 fovrn 6338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
2523, 24syl3an1 1252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
26253expa 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
27 nnre 10435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
29 nnnn0 10692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
30 nnexpcl 11990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
3110, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
33 nnre 10435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
34 nngt0 10457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
3533, 34jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
3632, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
37 lemul1 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  ( ( A J x )  <_  A 
<->  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3826, 28, 36, 37syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A J x )  <_  A  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  A  e.  NN )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  x  e.  RR )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
4443fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
45 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
4645oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
4744, 46oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
4847fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
4948, 46oveq12d 6213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
50 ovex 6220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
5149, 21, 50ovmpt2a 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
5241, 42, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
5352oveq1d 6210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
545adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
5554ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
56 elrege0 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5755, 56sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
5857simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5932nnred 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
6058, 59remulcld 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
6132nnnn0d 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
6261nn0ge0d 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
63 mulge0 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
6457, 59, 62, 63syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
65 flge0nn0 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6660, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6867nn0cnd 10744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  CC )
6932adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
7069nncnd 10444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  CC )
7169nnne0d 10472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  =/=  0 )
7268, 70, 71divcan1d 10214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7353, 72eqtrd 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7473, 67eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN0 )
75 nn0uz 11001 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7674, 75syl6eleq 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
77 nnmulcl 10451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
7831, 77mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
7978ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
8180nnzd 10852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ZZ )
82 elfz5 11557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <-> 
( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
8376, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
8439, 83mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
85 oveq1 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
86 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )
87 ovex 6220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
8885, 86, 87fvmpt 5878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
8984, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
9026adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  RR )
9190recnd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  CC )
9291, 70, 71divcan4d 10219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( A J x ) )
9389, 92eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( A J x ) )
94 elfznn0 11593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
9594nn0red 10743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  RR )
9631adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
97 nndivre 10463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( m  / 
( 2 ^ A
) )  e.  RR )
9895, 96, 97syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
9998, 86fmptd 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) --> RR )
100 ffn 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) --> RR 
->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
102101adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
103102adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
104 fnfvelrn 5944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
105103, 84, 104syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
10693, 105eqeltrrd 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
10779nnnn0d 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN0 )
108107, 75syl6eleq 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
109 eluzfz2 11571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
111 oveq1 6202 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
112 ovex 6220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
113111, 86, 112fvmpt 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
114110, 113syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
11528recnd 9518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
11632nncnd 10444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
11732nnne0d 10472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
118115, 116, 117divcan4d 10219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  x.  (
2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  A )
119114, 118eqtrd 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  A )
120 fnfvelrn 5944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( A  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
121102, 110, 120syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
122119, 121eqeltrrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
123122adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( A J x )  <_  A )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
124106, 123ifclda 3924 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
125 eluzfz1 11570 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
126108, 125syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
127 oveq1 6202 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( 0  / 
( 2 ^ A
) ) )
128 ovex 6220 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
129127, 86, 128fvmpt 5878 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
130126, 129syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
131 nncn 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
132 nnne0 10460 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
133131, 132div0d 10212 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
13432, 133syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
135130, 134eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  0 )
136 fnfvelrn 5944 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 0 )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
137102, 126, 136syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
138135, 137eqeltrrd 2541 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
139 ifcl 3934 . . . 4  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  ran  ( m  e.  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  /\  0  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
140124, 138, 139syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  ran  ( m  e.  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
141 eqid 2452 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
142140, 141fmptd 5971 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) )
143 mbfi1fseq.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
144 mbfi1fseq.4 . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
145143, 5, 21, 144mbfi1fseqlem2 21322 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
146145adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
147146feq1d 5649 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  <->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) ) )
148142, 147mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796    C_ wss 3431   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4941   ran crn 4944    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   RRcr 9387   0cc0 9388    x. cmul 9393   +oocpnf 9521   RR*cxr 9523    < clt 9524    <_ cle 9525   -ucneg 9702    / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   [,)cico 11408   [,]cicc 11409   ...cfz 11549   |_cfl 11752   ^cexp 11977  MblFncmbf 21222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-ico 11412  df-fz 11550  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  21324
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