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Theorem mbfi1flimlem 21343
Description: Lemma for mbfi1flim 21344. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flimlem.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, F    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables  y 
f  h  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21ffvelrnda 5955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
31feqmptd 5856 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
4 mbfi1flim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
53, 4eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
62, 5mbfpos 21272 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
7 0re 9501 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  y
) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
92, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
10 max1 11272 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
117, 2, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
12 elrege0 11513 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
139, 11, 12sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
1513, 14fmptd 5979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
166, 15mbfi1fseq 21342 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
172renegcld 9890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -u ( F `  y )  e.  RR )
182, 5mbfneg 21271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  -u ( F `  y
) )  e. MblFn )
1917, 18mbfpos 21272 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
20 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( F `  y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
2117, 7, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
22 max1 11272 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  y
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
237, 17, 22sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
24 elrege0 11513 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 eqid 2454 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
2725, 26fmptd 5979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2819, 27mbfi1fseq 21342 . 2  |-  ( ph  ->  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
29 eeanv 1944 . . 3  |-  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
30 3simpb 986 . . . . . . 7  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
31 3simpb 986 . . . . . . 7  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3230, 31anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
33 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
3432, 33sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
35 r19.26 2955 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
36 i1fsub 21329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
3736adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  (
x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 ) )  ->  (
x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
38 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
39 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h : NN --> dom  S.1 )
40 nnex 10443 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  NN  e.  _V )
42 inidm 3670 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
4337, 38, 39, 41, 41, 42off 6447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 )
44 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
4544breq2d 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( F `  y )  <->  0  <_  ( F `  x ) ) )
4645, 44ifbieq1d 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
47 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
48 c0ex 9495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
4947, 48ifex 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
5046, 14, 49fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
5150breq2d 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5244negeqd 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
5352breq2d 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( F `
 y )  <->  0  <_  -u ( F `  x ) ) )
5453, 52ifbieq1d 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
55 negex 9723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
5655, 48ifex 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
5754, 26, 56fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
5857breq2d 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5951, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
61 nnuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
62 1zzd 10792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
6440mptex 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
66 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
6738ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  e.  dom  S.1 )
68 i1ff 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  n ) : RR --> RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n ) : RR --> RR )
7069ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7170an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7271recnd 9527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  CC )
73 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )
7472, 73fmptd 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
7675ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
7739ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n )  e.  dom  S.1 )
78 i1ff 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  n ) : RR --> RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n ) : RR --> RR )
8079ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8180an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8281recnd 9527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  CC )
83 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )
8482, 83fmptd 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
8685ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
87 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : NN --> dom  S.1  ->  f  Fn  NN )
8838, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f  Fn  NN )
89 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h : NN --> dom  S.1  ->  h  Fn  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h  Fn  NN )
91 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  =  ( f `  k ) )
92 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  =  ( h `  k ) )
9388, 90, 41, 41, 42, 91, 92ofval 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  k )  =  ( ( f `
 k )  oF  -  ( h `
 k ) ) )
9493fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )
)
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  ( h `  k ) ) `  x ) )
9638ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  dom  S.1 )
97 i1ff 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  k ) : RR --> RR )
98 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k ) : RR --> RR  ->  ( f `  k )  Fn  RR )
9996, 97, 983syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  Fn  RR )
10039ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  e.  dom  S.1 )
101 i1ff 21297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  k ) : RR --> RR )
102 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k ) : RR --> RR  ->  ( h `  k )  Fn  RR )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  Fn  RR )
104 reex 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  e.  _V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
106 inidm 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
107 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 k ) `  x )  =  ( ( f `  k
) `  x )
)
108 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 k ) `  x )  =  ( ( h `  k
) `  x )
)
10999, 103, 105, 105, 106, 107, 108ofval 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
11095, 109eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
111110an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
112 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k ) )
113112fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x ) )
114 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )
115 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x )  e.  _V
116113, 114, 115fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )
)
118 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
119118fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 k ) `  x ) )
120 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  k ) `
 x )  e. 
_V
121119, 73, 120fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( f `  k ) `
 x ) )
122 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
h `  n )  =  ( h `  k ) )
123122fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( h `  n
) `  x )  =  ( ( h `
 k ) `  x ) )
124 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  k ) `
 x )  e. 
_V
125123, 83, 124fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( h `  k ) `
 x ) )
126121, 125oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
128111, 117, 1273eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) ) )
129128adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) `  k )
) )
13061, 62, 63, 65, 66, 76, 86, 129climsub 13233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
1311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  F : RR --> RR )
132131ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
133 max0sub 11281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
136130, 135breqtrd 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
13860, 137sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
139138ralimdva 2832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
140 ovex 6228 . . . . . . . . 9  |-  ( f  oF  oF  -  h )  e. 
_V
141 feq1 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  (
f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 ) )
142 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) )
143142fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )
144143mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) )
145144breq1d 4413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
146145ralbidv 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
147141, 146anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
148140, 147spcev 3170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
14943, 139, 148syl6an 545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
15035, 149syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
151150expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15234, 151syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
153152exlimdvv 1692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15429, 153syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15516, 28, 154mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431    oRcofr 6432   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400   +oocpnf 9530    <_ cle 9534    - cmin 9710   -ucneg 9711   NNcn 10437   [,)cico 11417    ~~> cli 13084  MblFncmbf 21237   S.1citg1 21238   0pc0p 21290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-ico 11421  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-rlim 13089  df-sum 13286  df-rest 14484  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cmp 19132  df-ovol 21090  df-vol 21091  df-mbf 21242  df-itg1 21243  df-0p 21291
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  21344
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