Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flimlem Structured version   Unicode version

Theorem mbfi1flimlem 22107
 Description: Lemma for mbfi1flim 22108. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 MblFn
mbfi1flimlem.2
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5
21ffvelrnda 6016 . . . 4
31feqmptd 5911 . . . . 5
4 mbfi1flim.1 . . . . 5 MblFn
53, 4eqeltrrd 2532 . . . 4 MblFn
62, 5mbfpos 22036 . . 3 MblFn
7 0re 9599 . . . . . 6
8 ifcl 3968 . . . . . 6
92, 7, 8sylancl 662 . . . . 5
10 max1 11397 . . . . . 6
117, 2, 10sylancr 663 . . . . 5
12 elrege0 11638 . . . . 5
139, 11, 12sylanbrc 664 . . . 4
14 eqid 2443 . . . 4
1513, 14fmptd 6040 . . 3
166, 15mbfi1fseq 22106 . 2
172renegcld 9993 . . . 4
182, 5mbfneg 22035 . . . 4 MblFn
1917, 18mbfpos 22036 . . 3 MblFn
20 ifcl 3968 . . . . . 6
2117, 7, 20sylancl 662 . . . . 5
22 max1 11397 . . . . . 6
237, 17, 22sylancr 663 . . . . 5
24 elrege0 11638 . . . . 5
2521, 23, 24sylanbrc 664 . . . 4
26 eqid 2443 . . . 4
2725, 26fmptd 6040 . . 3
2819, 27mbfi1fseq 22106 . 2
29 eeanv 1974 . . 3
30 3simpb 995 . . . . . . 7
31 3simpb 995 . . . . . . 7
3230, 31anim12i 566 . . . . . 6
33 an4 824 . . . . . 6
3432, 33sylib 196 . . . . 5
35 r19.26 2970 . . . . . . 7
36 i1fsub 22093 . . . . . . . . . 10
3736adantl 466 . . . . . . . . 9
38 simprl 756 . . . . . . . . 9
39 simprr 757 . . . . . . . . 9
40 nnex 10549 . . . . . . . . . 10
4140a1i 11 . . . . . . . . 9
42 inidm 3692 . . . . . . . . 9
4337, 38, 39, 41, 41, 42off 6539 . . . . . . . 8
44 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645, 44ifbieq1d 3949 . . . . . . . . . . . . . 14
47 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 c0ex 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48ifex 3995 . . . . . . . . . . . . . 14
5046, 14, 49fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . 13
5150breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12
5244negeqd 9819 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453, 52ifbieq1d 3949 . . . . . . . . . . . . . 14
55 negex 9823 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655, 48ifex 3995 . . . . . . . . . . . . . 14
5754, 26, 56fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . 13
5857breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12
5951, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
6059adantl 466 . . . . . . . . . 10
61 nnuz 11127 . . . . . . . . . . . . 13
62 1zzd 10902 . . . . . . . . . . . . 13
63 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
6440mptex 6128 . . . . . . . . . . . . . 14
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
66 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
6738ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
68 i1ff 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7472, 73fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . 13
7739ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78 i1ff 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
8685ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . 13
87 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8838, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9388, 90, 41, 41, 42, 91, 92ofval 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9638ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97 i1ff 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9996, 97, 983syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10039ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 i1ff 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 reex 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 inidm 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10999, 103, 105, 105, 106, 107, 108ofval 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11095, 109eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116113, 114, 115fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121119, 73, 120fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125123, 83, 124fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126121, 125oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
128111, 117, 1273eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . . 14
129128adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
13061, 62, 63, 65, 66, 76, 86, 129climsub 13438 . . . . . . . . . . . 12
1311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
132131ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . 14
133 max0sub 11406 . . . . . . . . . . . . . 14
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
136130, 135breqtrd 4461 . . . . . . . . . . 11
137136ex 434 . . . . . . . . . 10
13860, 137sylbid 215 . . . . . . . . 9
139138ralimdva 2851 . . . . . . . 8
140 ovex 6309 . . . . . . . . 9
141 feq1 5703 . . . . . . . . . 10
142 fveq1 5855 . . . . . . . . . . . . . 14
143142fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . 13
144143mpteq2dv 4524 . . . . . . . . . . . 12
145144breq1d 4447 . . . . . . . . . . 11
146145ralbidv 2882 . . . . . . . . . 10
147141, 146anbi12d 710 . . . . . . . . 9
148140, 147spcev 3187 . . . . . . . 8
14943, 139, 148syl6an 545 . . . . . . 7
15035, 149syl5bir 218 . . . . . 6
151150expimpd 603 . . . . 5
15234, 151syl5 32 . . . 4
153152exlimdvv 1712 . . 3
15429, 153syl5bir 218 . 2
15516, 28, 154mp2and 679 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383  wex 1599   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095  cif 3926   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cdm 4989   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523   cofr 6524  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cpnf 9628   cle 9632   cmin 9810  cneg 9811  cn 10543  cico 11542   cli 13289  MblFncmbf 22001  citg1 22002  c0p 22054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cmp 19865  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-0p 22055 This theorem is referenced by:  mbfi1flim  22108
 Copyright terms: Public domain W3C validator