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Theorem mbfi1flimlem 21997
Description: Lemma for mbfi1flim 21998. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flimlem.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, F    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables  y 
f  h  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21ffvelrnda 6032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
31feqmptd 5927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
4 mbfi1flim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
53, 4eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
62, 5mbfpos 21926 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
7 0re 9608 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3987 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  y
) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
92, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
10 max1 11398 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
117, 2, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
12 elrege0 11639 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
139, 11, 12sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
1513, 14fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
166, 15mbfi1fseq 21996 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
172renegcld 9998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -u ( F `  y )  e.  RR )
182, 5mbfneg 21925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  -u ( F `  y
) )  e. MblFn )
1917, 18mbfpos 21926 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
20 ifcl 3987 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( F `  y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
2117, 7, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
22 max1 11398 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  y
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
237, 17, 22sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
24 elrege0 11639 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
2725, 26fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2819, 27mbfi1fseq 21996 . 2  |-  ( ph  ->  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
29 eeanv 1957 . . 3  |-  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
30 3simpb 994 . . . . . . 7  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
31 3simpb 994 . . . . . . 7  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3230, 31anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
33 an4 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
3432, 33sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
35 r19.26 2994 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
36 i1fsub 21983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
3736adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  (
x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 ) )  ->  (
x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
38 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
39 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h : NN --> dom  S.1 )
40 nnex 10554 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  NN  e.  _V )
42 inidm 3712 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
4337, 38, 39, 41, 41, 42off 6549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 )
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
4544breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( F `  y )  <->  0  <_  ( F `  x ) ) )
4645, 44ifbieq1d 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
47 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
48 c0ex 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
4947, 48ifex 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
5046, 14, 49fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
5150breq2d 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5244negeqd 9826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
5352breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( F `
 y )  <->  0  <_  -u ( F `  x ) ) )
5453, 52ifbieq1d 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
55 negex 9830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
5655, 48ifex 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
5754, 26, 56fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
5857breq2d 4465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5951, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
61 nnuz 11129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
62 1zzd 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
6440mptex 6142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
66 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
6738ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  e.  dom  S.1 )
68 i1ff 21951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  n ) : RR --> RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n ) : RR --> RR )
7069ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7170an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7271recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  CC )
73 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )
7472, 73fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
7675ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
7739ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n )  e.  dom  S.1 )
78 i1ff 21951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  n ) : RR --> RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n ) : RR --> RR )
8079ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8180an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8281recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  CC )
83 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )
8482, 83fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
8685ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
87 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : NN --> dom  S.1  ->  f  Fn  NN )
8838, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f  Fn  NN )
89 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h : NN --> dom  S.1  ->  h  Fn  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h  Fn  NN )
91 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  =  ( f `  k ) )
92 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  =  ( h `  k ) )
9388, 90, 41, 41, 42, 91, 92ofval 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  k )  =  ( ( f `
 k )  oF  -  ( h `
 k ) ) )
9493fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )
)
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  ( h `  k ) ) `  x ) )
9638ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  dom  S.1 )
97 i1ff 21951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  k ) : RR --> RR )
98 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k ) : RR --> RR  ->  ( f `  k )  Fn  RR )
9996, 97, 983syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  Fn  RR )
10039ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  e.  dom  S.1 )
101 i1ff 21951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  k ) : RR --> RR )
102 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k ) : RR --> RR  ->  ( h `  k )  Fn  RR )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  Fn  RR )
104 reex 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  e.  _V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
106 inidm 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
107 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 k ) `  x )  =  ( ( f `  k
) `  x )
)
108 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 k ) `  x )  =  ( ( h `  k
) `  x )
)
10999, 103, 105, 105, 106, 107, 108ofval 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
11095, 109eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
111110an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
112 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k ) )
113112fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x ) )
114 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )
115 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x )  e.  _V
116113, 114, 115fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )
)
118 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
119118fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 k ) `  x ) )
120 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  k ) `
 x )  e. 
_V
121119, 73, 120fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( f `  k ) `
 x ) )
122 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
h `  n )  =  ( h `  k ) )
123122fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( h `  n
) `  x )  =  ( ( h `
 k ) `  x ) )
124 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  k ) `
 x )  e. 
_V
125123, 83, 124fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( h `  k ) `
 x ) )
126121, 125oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
128111, 117, 1273eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) ) )
129128adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) `  k )
) )
13061, 62, 63, 65, 66, 76, 86, 129climsub 13436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
1311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  F : RR --> RR )
132131ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
133 max0sub 11407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
136130, 135breqtrd 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
13860, 137sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
139138ralimdva 2875 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
140 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  oF  oF  -  h )  e. 
_V
141 feq1 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  (
f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 ) )
142 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) )
143142fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )
144143mpteq2dv 4540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) )
145144breq1d 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
146145ralbidv 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
147141, 146anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
148140, 147spcev 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
14943, 139, 148syl6an 545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
15035, 149syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
151150expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15234, 151syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
153152exlimdvv 1701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15429, 153syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15516, 28, 154mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    oRcofr 6534   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818   NNcn 10548   [,)cico 11543    ~~> cli 13287  MblFncmbf 21891   S.1citg1 21892   0pc0p 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-0p 21945
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  21998
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