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Theorem mbfi1flimlem 21042
Description: Lemma for mbfi1flim 21043. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flimlem.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, F    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables  y 
f  h  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21ffvelrnda 5831 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
31feqmptd 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
4 mbfi1flim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
53, 4eqeltrrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
62, 5mbfpos 20971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
7 0re 9374 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3819 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  y
) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
92, 7, 8sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
10 max1 11145 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
117, 2, 10sylancr 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
12 elrege0 11380 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
139, 11, 12sylanbrc 657 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
14 eqid 2433 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
1513, 14fmptd 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
166, 15mbfi1fseq 21041 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
172renegcld 9763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -u ( F `  y )  e.  RR )
182, 5mbfneg 20970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  -u ( F `  y
) )  e. MblFn )
1917, 18mbfpos 20971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
20 ifcl 3819 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( F `  y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
2117, 7, 20sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
22 max1 11145 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  y
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
237, 17, 22sylancr 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
24 elrege0 11380 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 657 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 eqid 2433 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
2725, 26fmptd 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2819, 27mbfi1fseq 21041 . 2  |-  ( ph  ->  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
29 eeanv 1930 . . 3  |-  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
30 3simpb 979 . . . . . . 7  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
31 3simpb 979 . . . . . . 7  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3230, 31anim12i 561 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
33 an4 813 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
3432, 33sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
35 r19.26 2839 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
36 i1fsub 21028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
3736adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  (
x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 ) )  ->  (
x  oF  -  y )  e.  dom  S.1 )
38 simprl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
39 simprr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h : NN --> dom  S.1 )
40 nnex 10316 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  NN  e.  _V )
42 inidm 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
4337, 38, 39, 41, 41, 42off 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 )
44 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
4544breq2d 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( F `  y )  <->  0  <_  ( F `  x ) ) )
4645, 44ifbieq1d 3800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
47 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
48 c0ex 9368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
4947, 48ifex 3846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
5046, 14, 49fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
5150breq2d 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5244negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
5352breq2d 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( F `
 y )  <->  0  <_  -u ( F `  x ) ) )
5453, 52ifbieq1d 3800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
55 negex 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
5655, 48ifex 3846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
5754, 26, 56fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
5857breq2d 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5951, 58anbi12d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6059adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
61 nnuz 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
62 1zzd 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
63 simprl 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
6440mptex 5935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
66 simprr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
6738ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  e.  dom  S.1 )
68 i1ff 20996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  n ) : RR --> RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n ) : RR --> RR )
7069ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7170an32s 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7271recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  CC )
73 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )
7472, 73fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
7574adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
7675ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
7739ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n )  e.  dom  S.1 )
78 i1ff 20996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  n ) : RR --> RR )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n ) : RR --> RR )
8079ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8180an32s 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8281recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  CC )
83 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )
8482, 83fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
8584adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
8685ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
87 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : NN --> dom  S.1  ->  f  Fn  NN )
8838, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f  Fn  NN )
89 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h : NN --> dom  S.1  ->  h  Fn  NN )
9039, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h  Fn  NN )
91 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  =  ( f `  k ) )
92 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  =  ( h `  k ) )
9388, 90, 41, 41, 42, 91, 92ofval 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  k )  =  ( ( f `
 k )  oF  -  ( h `
 k ) ) )
9493fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )
)
9594adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  oF  -  ( h `  k ) ) `  x ) )
9638ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  dom  S.1 )
97 i1ff 20996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  k ) : RR --> RR )
98 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k ) : RR --> RR  ->  ( f `  k )  Fn  RR )
9996, 97, 983syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  Fn  RR )
10039ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  e.  dom  S.1 )
101 i1ff 20996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  k ) : RR --> RR )
102 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k ) : RR --> RR  ->  ( h `  k )  Fn  RR )
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  Fn  RR )
104 reex 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  e.  _V
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
106 inidm 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
107 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 k ) `  x )  =  ( ( f `  k
) `  x )
)
108 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 k ) `  x )  =  ( ( h `  k
) `  x )
)
10999, 103, 105, 105, 106, 107, 108ofval 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  k )  oF  -  (
h `  k )
) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
11095, 109eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
111110an32s 795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
112 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f  oF  oF  -  h
) `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k ) )
113112fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 k ) `  x ) )
114 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )
115 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x )  e.  _V
116113, 114, 115fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  k ) `  x ) )
117116adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  k
) `  x )
)
118 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
119118fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 k ) `  x ) )
120 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  k ) `
 x )  e. 
_V
121119, 73, 120fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( f `  k ) `
 x ) )
122 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
h `  n )  =  ( h `  k ) )
123122fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( h `  n
) `  x )  =  ( ( h `
 k ) `  x ) )
124 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  k ) `
 x )  e. 
_V
125123, 83, 124fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( h `  k ) `
 x ) )
126121, 125oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
127126adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
128111, 117, 1273eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) ) )
129128adantlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) `  k )
) )
13061, 62, 63, 65, 66, 76, 86, 129climsub 13095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
1311adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  F : RR --> RR )
132131ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
133 max0sub 11154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
135134adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
136130, 135breqtrd 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
13860, 137sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
139138ralimdva 2784 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
140 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( f  oF  oF  -  h )  e. 
_V
141 feq1 5530 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  (
f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1 ) )
142 fveq1 5678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
g `  n )  =  ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) )
143142fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )
144143mpteq2dv 4367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) `  n ) `  x ) ) )
145144breq1d 4290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
146145ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
147141, 146anbi12d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  oF  oF  -  h )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( f  oF  oF  -  h ) : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
148140, 147spcev 3053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  oF  oF  -  h
) : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  oF  oF  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
14943, 139, 148syl6an 540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
15035, 149syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
151150expimpd 598 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15234, 151syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
153152exlimdvv 1690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15429, 153syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  oR  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
15516, 28, 154mp2and 672 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    oRcofr 6308   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273   +oocpnf 9403    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584   NNcn 10310   [,)cico 11290    ~~> cli 12946  MblFncmbf 20936   S.1citg1 20937   0pc0p 20989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cmp 18832  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941  df-itg1 20942  df-0p 20990
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  21043
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