MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Unicode version

Theorem mbfi1flim 22107
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flim.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, A    g, F, n, x    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3932 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  ( F `
 y ) )
21mpteq2ia 4519 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) )
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5911 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
64, 5eqeltrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) )  e. MblFn )
72, 6syl5eqel 2535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
8 fvex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
9 c0ex 9593 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
108, 9ifex 3995 . . . . . . 7  |-  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  _V )
127, 11mbfdm2 22022 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 mblss 21919 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 rembl 21928 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
17 eldifn 3612 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
1817adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  y  e.  A )
1918iffalsed 3937 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 22030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
213ffvelrnda 6016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
22 0red 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2321, 22ifclda 3958 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  RR )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )
2624, 25fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
2720, 26mbfi1flimlem 22106 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
28 ssralv 3549 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x )  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
2914, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3014sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
31 eleq1 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
32 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
3331, 32ifbieq1d 3949 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
34 fvex 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534, 9ifex 3995 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
3633, 25, 35fvmpt 5941 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
38 iftrue 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
3938adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4037, 39eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4140breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4241ralbidva 2879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4329, 42sylibd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4443anim2d 565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
4544eximdv 1697 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
4627, 45mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495   NNcn 10543    ~~> cli 13288   volcvol 21852  MblFncmbf 22000   S.1citg1 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cmp 19864  df-ovol 21853  df-vol 21854  df-mbf 22005  df-itg1 22006  df-0p 22054
This theorem is referenced by:  mbfmullem  22109
  Copyright terms: Public domain W3C validator