Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Unicode version

Theorem mbfi1flim 19568
 Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 MblFn
mbfi1flim.2
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3705 . . . . . . . 8
21mpteq2ia 4251 . . . . . . 7
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9
43feqmptd 5738 . . . . . . . 8
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 MblFn
64, 5eqeltrrd 2479 . . . . . . 7 MblFn
72, 6syl5eqel 2488 . . . . . 6 MblFn
8 fvex 5701 . . . . . . . 8
9 c0ex 9041 . . . . . . . 8
108, 9ifex 3757 . . . . . . 7
1110a1i 11 . . . . . 6
127, 11mbfdm2 19483 . . . . 5
13 mblss 19380 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
15 rembl 19388 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 eldifn 3430 . . . . . 6
1817adantl 453 . . . . 5
19 iffalse 3706 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
2114, 16, 11, 20, 7mbfss 19491 . . 3 MblFn
223ffvelrnda 5829 . . . . . 6
23 0re 9047 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
2522, 24ifclda 3726 . . . . 5
2625adantr 452 . . . 4
27 eqid 2404 . . . 4
2826, 27fmptd 5852 . . 3
2921, 28mbfi1flimlem 19567 . 2
30 ssralv 3367 . . . . . 6
3114, 30syl 16 . . . . 5
3214sselda 3308 . . . . . . . . 9
33 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11
34 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
35 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11
3633, 34, 35ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . 10
37 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11
3837, 9ifex 3757 . . . . . . . . . 10
3936, 27, 38fvmpt 5765 . . . . . . . . 9
4032, 39syl 16 . . . . . . . 8
41 iftrue 3705 . . . . . . . . 9
4241adantl 453 . . . . . . . 8
4340, 42eqtrd 2436 . . . . . . 7
4443breq2d 4184 . . . . . 6
4544ralbidva 2682 . . . . 5
4631, 45sylibd 206 . . . 4
4746anim2d 549 . . 3
4847eximdv 1629 . 2
4929, 48mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280  cif 3699   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  cr 8945  cc0 8946  cn 9956   cli 12233  cvol 19313  MblFncmbf 19459  citg1 19460 This theorem is referenced by:  mbfmullem  19570 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-0p 19515
 Copyright terms: Public domain W3C validator