MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Unicode version

Theorem mbfi1flim 19568
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flim.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, A    g, F, n, x    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  ( F `
 y ) )
21mpteq2ia 4251 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) )
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
64, 5eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) )  e. MblFn )
72, 6syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
8 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
9 c0ex 9041 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
108, 9ifex 3757 . . . . . . 7  |-  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  _V )
127, 11mbfdm2 19483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 mblss 19380 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 rembl 19388 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
17 eldifn 3430 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
1817adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  y  e.  A )
19 iffalse 3706 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
2114, 16, 11, 20, 7mbfss 19491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
223ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
23 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2522, 24ifclda 3726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  RR )
27 eqid 2404 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )
2826, 27fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
2921, 28mbfi1flimlem 19567 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
30 ssralv 3367 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x )  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3114, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3214sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
33 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
34 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
35 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
3633, 34, 35ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
37 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3837, 9ifex 3757 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
3936, 27, 38fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
4032, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
41 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4241adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4340, 42eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4443breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4544ralbidva 2682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4631, 45sylibd 206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4746anim2d 549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
4847eximdv 1629 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
4929, 48mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413   RRcr 8945   0cc0 8946   NNcn 9956    ~~> cli 12233   volcvol 19313  MblFncmbf 19459   S.1citg1 19460
This theorem is referenced by:  mbfmullem  19570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator