MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Unicode version

Theorem mbfi1flim 22312
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flim.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, A    g, F, n, x    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3888 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  ( F `
 y ) )
21mpteq2ia 4474 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) )
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
64, 5eqeltrrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) )  e. MblFn )
72, 6syl5eqel 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
8 fvex 5813 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
9 c0ex 9538 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
108, 9ifex 3950 . . . . . . 7  |-  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  _V )
127, 11mbfdm2 22227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 mblss 22124 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 rembl 22133 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
17 eldifn 3563 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
1817adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  y  e.  A )
1918iffalsed 3893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 22235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
213ffvelrnda 5963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
22 0red 9545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2321, 22ifclda 3914 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
2423adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  RR )
25 eqid 2400 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )
2624, 25fmptd 5987 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
2720, 26mbfi1flimlem 22311 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
28 ssralv 3500 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x )  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
2914, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3014sselda 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
31 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
32 fveq2 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
3331, 32ifbieq1d 3905 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
34 fvex 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534, 9ifex 3950 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
3633, 25, 35fvmpt 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
3730, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
38 iftrue 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
3938adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4037, 39eqtrd 2441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4140breq2d 4404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4241ralbidva 2837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4329, 42sylibd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4443anim2d 563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
4544eximdv 1729 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
4627, 45mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840   A.wral 2751   _Vcvv 3056    \ cdif 3408    C_ wss 3411   ifcif 3882   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   -->wf 5519   ` cfv 5523   RRcr 9439   0cc0 9440   NNcn 10494    ~~> cli 13361   volcvol 22057  MblFncmbf 22205   S.1citg1 22206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-0p 22259
This theorem is referenced by:  mbfmullem  22314
  Copyright terms: Public domain W3C validator