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Theorem mbfeqalem 19487
Description: Lemma for mbfeqa 19488. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
mbfeqa.2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
mbfeqa.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
mbfeqalem.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
mbfeqalem.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3666 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )
2 incom 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )
3 dfin4 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
42, 3eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
5 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol )
6 symdif2 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) }
7 eldif 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( B  \  A )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
9 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  x  e.  B )
109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  x  e.  B )
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
129, 11sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  RR )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  B  |->  C )
1413fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
1510, 12, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
179, 16sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  D  e.  RR )
18 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  D )
1918fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
2010, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
218, 15, 203eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x ) )
2221ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
) )
23 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)
24 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )
25 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )
2624, 25nfeq 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
)
27 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z ) )
28 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
2927, 28eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  <->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) ) )
3023, 26, 29cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( B  \  A
) ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
3122, 30sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
) )
3231r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z ) )
3332eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
347, 33sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  e.  y  <->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z )  e.  y ) )
3534anass1rs 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
3635pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y )  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
3711, 13fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR )
38 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B
)
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
41 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y ) ) )
4316, 18fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR )
44 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B
)
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
47 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  D ) `  z
)  e.  y ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
4936, 42, 483bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  A  ->  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) ) )
5150con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  <-> 
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  ->  z  e.  A ) )
5251abssdv 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) } 
C_  A )
536, 52syl5eqss 3352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  u.  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) ) )  C_  A )
5453unssad 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A )
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5654, 55sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR )
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
58 ovolssnul 19336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  -> 
( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
60 nulmbl 19383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
6156, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
62 difmbl 19390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
635, 61, 62syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
644, 63syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
6553unssbd 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )
6665, 55sstrd 3318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR )
67 ovolssnul 19336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  -> 
( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
6865, 55, 57, 67syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
69 nulmbl 19383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7066, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7170adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
72 unmbl 19385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
7364, 71, 72syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
741, 73syl5eqelr 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  e.  dom  vol )
75 inundif 3666 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )
76 incom 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )
77 dfin4 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
7876, 77eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
79 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol )
80 difmbl 19390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8179, 70, 80syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
8278, 81syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
8361adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
84 unmbl 19385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8582, 83, 84syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8675, 85syl5eqelr 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol )
8774, 86impbida 806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
8887ralbidv 2686 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
89 ismbf 19475 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9037, 89syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol ) )
91 ismbf 19475 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9243, 91syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol ) )
9388, 90, 923bitr4d 277 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   RRcr 8945   0cc0 8946   (,)cioo 10872   vol *covol 19312   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfeqa  19488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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