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Theorem mbfeqalem 22475
Description: Lemma for mbfeqa 22476. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
mbfeqa.2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
mbfeqa.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
mbfeqalem.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
mbfeqalem.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3879 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )
2 incom 3661 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )
3 dfin4 3719 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
42, 3eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
5 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol )
6 symdif2 3707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) }
7 eldif 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( B  \  A )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
9 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  x  e.  B )
109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  x  e.  B )
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
129, 11sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  RR )
13 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  B  |->  C )
1413fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
1510, 12, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
179, 16sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  D  e.  RR )
18 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  D )
1918fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
2010, 17, 19syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
218, 15, 203eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x ) )
2221ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
) )
23 nfv 1754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)
24 nffvmpt1 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )
25 nffvmpt1 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )
2624, 25nfeq 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
)
27 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z ) )
28 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
2927, 28eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  <->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) ) )
3023, 26, 29cbvral 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( B  \  A
) ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
3122, 30sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
) )
3231r19.21bi 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z ) )
3332eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
347, 33sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  e.  y  <->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z )  e.  y ) )
3534anass1rs 814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
3635pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y )  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
3711, 13fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR )
38 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B
)
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
41 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y ) ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y ) ) )
4316, 18fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR )
44 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B
)
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
47 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  D ) `  z
)  e.  y ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
4936, 42, 483bitr4d 288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )
5049ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  A  ->  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) ) )
5150con1d 127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  <-> 
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  ->  z  e.  A ) )
5251abssdv 3541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) } 
C_  A )
536, 52syl5eqss 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  u.  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) ) )  C_  A )
5453unssad 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A )
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5654, 55sstrd 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR )
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
58 ovolssnul 22318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
60 nulmbl 22366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
6156, 59, 60syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
62 difmbl 22373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
635, 61, 62syl2anr 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
644, 63syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
6553unssbd 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )
6665, 55sstrd 3480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR )
67 ovolssnul 22318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
6865, 55, 57, 67syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
69 nulmbl 22366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7066, 68, 69syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7170adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
72 unmbl 22368 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
7364, 71, 72syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
741, 73syl5eqelr 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  e.  dom  vol )
75 inundif 3879 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )
76 incom 3661 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )
77 dfin4 3719 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
7876, 77eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
79 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol )
80 difmbl 22373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8179, 70, 80syl2anr 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
8278, 81syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
8361adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
84 unmbl 22368 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8582, 83, 84syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8675, 85syl5eqelr 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol )
8774, 86impbida 840 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
8887ralbidv 2871 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
89 ismbf 22463 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9037, 89syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol ) )
91 ismbf 22463 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9243, 91syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol ) )
9388, 90, 923bitr4d 288 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782    \ cdif 3439    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   RRcr 9537   0cc0 9538   (,)cioo 11635   vol*covol 22294   volcvol 22295  MblFncmbf 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454
This theorem is referenced by:  mbfeqa  22476
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