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Theorem mbfeqalem 20962
Description: Lemma for mbfeqa 20963. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
mbfeqa.2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
mbfeqa.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
mbfeqalem.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
mbfeqalem.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3745 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )
2 incom 3531 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )
3 dfin4 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
42, 3eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
5 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol )
6 symdif2 3604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) }
7 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( B  \  A )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
9 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  x  e.  B )
109adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  x  e.  B )
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
129, 11sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  RR )
13 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  B  |->  C )
1413fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
1510, 12, 14syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
179, 16sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  D  e.  RR )
18 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  B  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  D )
1918fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  B  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
2010, 17, 19syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
218, 15, 203eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x ) )
2221ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
) )
23 nfv 1672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ z ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)
24 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )
25 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )
2624, 25nfeq 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
)
27 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z ) )
28 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
2927, 28eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  <->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) ) )
3023, 26, 29cbvral 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( B  \  A
) ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
3122, 30sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
) )
3231r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z ) )
3332eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
347, 33sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  e.  y  <->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z )  e.  y ) )
3534anass1rs 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
3635pm5.32da 634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y )  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
3711, 13fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR )
38 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B
)
4039adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
41 elpreima 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y ) ) )
4316, 18fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR )
44 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B
)
4645adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
47 elpreima 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  D ) `  z
)  e.  y ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
4936, 42, 483bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  A  ->  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) ) )
5150con1d 124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  <-> 
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  ->  z  e.  A ) )
5251abssdv 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) } 
C_  A )
536, 52syl5eqss 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  u.  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) ) )  C_  A )
5453unssad 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A )
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5654, 55sstrd 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR )
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
58 ovolssnul 20812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
60 nulmbl 20859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
6156, 59, 60syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
62 difmbl 20866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
635, 61, 62syl2anr 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
644, 63syl5eqel 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
6553unssbd 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )
6665, 55sstrd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR )
67 ovolssnul 20812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
6865, 55, 57, 67syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
69 nulmbl 20859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7066, 68, 69syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7170adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
72 unmbl 20861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
7364, 71, 72syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
741, 73syl5eqelr 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  e.  dom  vol )
75 inundif 3745 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )
76 incom 3531 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )
77 dfin4 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
7876, 77eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
79 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol )
80 difmbl 20866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8179, 70, 80syl2anr 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
8278, 81syl5eqel 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
8361adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
84 unmbl 20861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8582, 83, 84syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8675, 85syl5eqelr 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol )
8774, 86impbida 821 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
8887ralbidv 2725 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
89 ismbf 20950 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9037, 89syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol ) )
91 ismbf 20950 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9243, 91syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol ) )
9388, 90, 923bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406   RRcr 9269   0cc0 9270   (,)cioo 11288   vol*covol 20788   volcvol 20789  MblFncmbf 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xadd 11078  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-xmet 17654  df-met 17655  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941
This theorem is referenced by:  mbfeqa  20963
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