MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfdm2 21248
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfdm2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfdm2
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5442 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 mbfmptcl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 mbfdm 21238 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  e.  dom  vol )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
dom  vol )
84, 7eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798    |-> cmpt 4457   dom cdm 4947   volcvol 21078  MblFncmbf 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-2 10490  df-ioo 11414  df-cj 12705  df-re 12706  df-mbf 21231
This theorem is referenced by:  mbfss  21256  mbfpos  21261  mbfposr  21262  mbfmulc2  21273  mbfi1flim  21333  itgge0  21420  itgss3  21424  itgless  21426  ibladdlem  21429  ibladd  21430  itgaddlem1  21432  iblabslem  21437  itgsplit  21445  bddmulibl  21448  itggt0  21451  itgcn  21452  ibladdnclem  28595  itgaddnclem1  28597  iblabsnclem  28602  itgmulc2nclem2  28606  itgmulc2nc  28607  itgabsnc  28608
  Copyright terms: Public domain W3C validator