MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfdm2 22023
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfdm2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfdm2
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5494 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 mbfmptcl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 mbfdm 22013 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  e.  dom  vol )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
dom  vol )
84, 7eqeltrrd 2532 1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   volcvol 21853  MblFncmbf 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-ioo 11544  df-cj 12914  df-re 12915  df-mbf 22006
This theorem is referenced by:  mbfss  22031  mbfpos  22036  mbfposr  22037  mbfmulc2  22048  mbfi1flim  22108  itgge0  22195  itgss3  22199  itgless  22201  ibladdlem  22204  ibladd  22205  itgaddlem1  22207  iblabslem  22212  itgsplit  22220  bddmulibl  22223  itggt0  22226  itgcn  22227  ibladdnclem  30047  itgaddnclem1  30049  iblabsnclem  30054  itgmulc2nclem2  30058  itgmulc2nc  30059  itgabsnc  30060  iblsplit  31719
  Copyright terms: Public domain W3C validator