MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Unicode version

Theorem mbfdm 21106
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 12601 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 mbff 21105 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
3 fco 5568 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
41, 2, 3sylancr 663 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
5 fimacnv 5835 . . 3  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  =  dom  F )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  =  dom  F )
7 ioomax 11370 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
8 ioof 11387 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
11 mnfxr 11094 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
12 pnfxr 11092 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
13 fnovrn 6238 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\ -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,) )
1410, 11, 12, 13mp3an 1314 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,)
157, 14eqeltrri 2514 . . 3  |-  RR  e.  ran  (,)
16 ismbf1 21104 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
1716simprbi 464 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
18 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
1918ralimi 2791 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
21 imaeq2 5165 . . . . 5  |-  ( x  =  RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  F
) " RR ) )
2221eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  RR  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol )
)
2322rspcv 3069 . . 3  |-  ( RR  e.  ran  (,)  ->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol ) )
2415, 20, 23mpsyl 63 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  e. 
dom  vol )
256, 24eqeltrrd 2518 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   ~Pcpw 3860    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414  (class class class)co 6091    ^pm cpm 7215   CCcc 9280   RRcr 9281   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417   (,)cioo 11300   Recre 12586   Imcim 12587   volcvol 20947  MblFncmbf 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-ioo 11304  df-cj 12588  df-re 12589  df-mbf 21099
This theorem is referenced by:  ismbf  21108  ismbfcn  21109  mbfimaicc  21111  mbfdm2  21116  mbfres  21122  mbfmulc2lem  21125  mbfimaopn2  21135  cncombf  21136  mbfaddlem  21138  mbfadd  21139  mbfsub  21140  mbfmullem2  21202  mbfmul  21204  bddmulibl  21316  bddibl  21317  itgulm  21873  bddiblnc  28462  ftc1anclem1  28467  ftc1anclem5  28471  ftc1anclem8  28474
  Copyright terms: Public domain W3C validator