MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Unicode version

Theorem mbfdm 21903
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 12925 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 mbff 21902 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
3 fco 5747 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
41, 2, 3sylancr 663 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
5 fimacnv 6020 . . 3  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  =  dom  F )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  =  dom  F )
7 ioomax 11611 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
8 ioof 11634 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
11 mnfxr 11335 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
12 pnfxr 11333 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
13 fnovrn 6445 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\ -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,) )
1410, 11, 12, 13mp3an 1324 . . . 4  |-  ( -oo (,) +oo )  e.  ran  (,)
157, 14eqeltrri 2552 . . 3  |-  RR  e.  ran  (,)
16 ismbf1 21901 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
1716simprbi 464 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
18 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
1918ralimi 2860 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
21 imaeq2 5339 . . . . 5  |-  ( x  =  RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  F
) " RR ) )
2221eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  RR  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol )
)
2322rspcv 3215 . . 3  |-  ( RR  e.  ran  (,)  ->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol ) )
2415, 20, 23mpsyl 63 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  e. 
dom  vol )
256, 24eqeltrrd 2556 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   ~Pcpw 4016    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   "cima 5008    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502   RRcr 9503   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   (,)cioo 11541   Recre 12910   Imcim 12911   volcvol 21743  MblFncmbf 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-ioo 11545  df-cj 12912  df-re 12913  df-mbf 21896
This theorem is referenced by:  ismbf  21905  ismbfcn  21906  mbfimaicc  21908  mbfdm2  21913  mbfres  21919  mbfmulc2lem  21922  mbfimaopn2  21932  cncombf  21933  mbfaddlem  21935  mbfadd  21936  mbfsub  21937  mbfmullem2  21999  mbfmul  22001  bddmulibl  22113  bddibl  22114  itgulm  22670  bddiblnc  30012  ftc1anclem1  30017  ftc1anclem5  30021  ftc1anclem8  30024
  Copyright terms: Public domain W3C validator