MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconstlem Structured version   Unicode version

Theorem mbfconstlem 22326
Description: Lemma for mbfconst 22332. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconstlem  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  C  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfconstlem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5176 . . . . . 6  |-  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  C_  dom  ( A  X.  { C }
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  C_  dom  ( A  X.  { C }
) )
3 cnvimarndm 5177 . . . . . 6  |-  ( `' ( A  X.  { C } ) " ran  ( A  X.  { C } ) )  =  dom  ( A  X.  { C } )
4 fconst6g 5756 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  B  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> B )
54adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( A  X.  { C } ) : A --> B )
6 frn 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  { C } ) : A --> B  ->  ran  ( A  X.  { C } ) 
C_  B )
7 imass2 5191 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( A  X.  { C } )  C_  B  ->  ( `' ( A  X.  { C }
) " ran  ( A  X.  { C }
) )  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " ran  ( A  X.  { C } ) )  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B ) )
93, 8syl5eqssr 3486 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  dom  ( A  X.  { C }
)  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
) )
102, 9eqssd 3458 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  =  dom  ( A  X.  { C }
) )
11 fconstg 5754 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> { C } )
1211ad2antlr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( A  X.  { C } ) : A --> { C } )
13 fdm 5717 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { C } ) : A --> { C }  ->  dom  ( A  X.  { C } )  =  A )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  dom  ( A  X.  { C }
)  =  A )
1510, 14eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  =  A )
16 simpll 752 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  A  e.  dom  vol )
1715, 16eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )
1811ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> { C } )
19 incom 3631 . . . . 5  |-  ( { C }  i^i  B
)  =  ( B  i^i  { C }
)
20 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  -.  C  e.  B )
21 disjsn 4031 . . . . . 6  |-  ( ( B  i^i  { C } )  =  (/)  <->  -.  C  e.  B )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( B  i^i  { C }
)  =  (/) )
2319, 22syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( { C }  i^i  B
)  =  (/) )
24 fimacnvdisj 5745 . . . 4  |-  ( ( ( A  X.  { C } ) : A --> { C }  /\  ( { C }  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( `' ( A  X.  { C }
) " B )  =  (/) )
2518, 23, 24syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B )  =  (/) )
26 0mbl 22240 . . 3  |-  (/)  e.  dom  vol
2725, 26syl6eqel 2498 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B )  e.  dom  vol )
2817, 27pm2.61dan 792 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  C  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823   "cima 4825   -->wf 5564   RRcr 9520   volcvol 22165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167
This theorem is referenced by:  ismbf  22327  mbfconst  22332
  Copyright terms: Public domain W3C validator