MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconstlem Structured version   Unicode version

Theorem mbfconstlem 21766
Description: Lemma for mbfconst 21772. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconstlem  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  C  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfconstlem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5350 . . . . . 6  |-  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  C_  dom  ( A  X.  { C }
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  C_  dom  ( A  X.  { C }
) )
3 cnvimarndm 5351 . . . . . 6  |-  ( `' ( A  X.  { C } ) " ran  ( A  X.  { C } ) )  =  dom  ( A  X.  { C } )
4 fconst6g 5767 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  B  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> B )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( A  X.  { C } ) : A --> B )
6 frn 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  { C } ) : A --> B  ->  ran  ( A  X.  { C } ) 
C_  B )
7 imass2 5365 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( A  X.  { C } )  C_  B  ->  ( `' ( A  X.  { C }
) " ran  ( A  X.  { C }
) )  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B ) )
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " ran  ( A  X.  { C } ) )  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B ) )
93, 8syl5eqssr 3544 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  dom  ( A  X.  { C }
)  C_  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
) )
102, 9eqssd 3516 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  =  dom  ( A  X.  { C }
) )
11 fconstg 5765 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> { C } )
1211ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( A  X.  { C } ) : A --> { C } )
13 fdm 5728 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { C } ) : A --> { C }  ->  dom  ( A  X.  { C } )  =  A )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  dom  ( A  X.  { C }
)  =  A )
1510, 14eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  =  A )
16 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  A  e.  dom  vol )
1715, 16eqeltrd 2550 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  C  e.  B
)  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )
1811ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( A  X.  { C }
) : A --> { C } )
19 incom 3686 . . . . 5  |-  ( { C }  i^i  B
)  =  ( B  i^i  { C }
)
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  -.  C  e.  B )
21 disjsn 4083 . . . . . 6  |-  ( ( B  i^i  { C } )  =  (/)  <->  -.  C  e.  B )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( B  i^i  { C }
)  =  (/) )
2319, 22syl5eq 2515 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( { C }  i^i  B
)  =  (/) )
24 fimacnvdisj 5756 . . . 4  |-  ( ( ( A  X.  { C } ) : A --> { C }  /\  ( { C }  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( `' ( A  X.  { C }
) " B )  =  (/) )
2518, 23, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B )  =  (/) )
26 0mbl 21680 . . 3  |-  (/)  e.  dom  vol
2725, 26syl6eqel 2558 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  C  e.  RR )  /\  -.  C  e.  B )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B )  e.  dom  vol )
2817, 27pm2.61dan 789 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  C  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { C } ) " B
)  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   {csn 4022    X. cxp 4992   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995   "cima 4997   -->wf 5577   RRcr 9482   volcvol 21605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-xmet 18178  df-met 18179  df-ovol 21606  df-vol 21607
This theorem is referenced by:  ismbf  21767  mbfconst  21772
  Copyright terms: Public domain W3C validator