MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Unicode version

Theorem mbfconst 21135
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
2 fconstmpt 4903 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5888 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> CC )
4 mblss 21036 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
6 cnex 9384 . . . 4  |-  CC  e.  _V
7 reex 9394 . . . 4  |-  RR  e.  _V
8 elpm2r 7251 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  -> 
( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
96, 7, 8mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
103, 5, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
12 ref 12622 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re : CC --> RR )
1413feqmptd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re `  y ) ) )
15 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
161, 11, 14, 15fmptco 5897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )
17 fconstmpt 4903 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Re
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )
1816, 17syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) )
1918cnveqd 5036 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Re
`  B ) } ) )
2019imaeq1d 5189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) "
y ) )
21 recl 12620 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
22 mbfconstlem 21129 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Re `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2321, 22sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2420, 23eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
25 imf 12623 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im : CC --> RR )
2726feqmptd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im `  y ) ) )
28 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
291, 11, 27, 28fmptco 5897 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )
30 fconstmpt 4903 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Im
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )
3129, 30syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) )
3231cnveqd 5036 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Im
`  B ) } ) )
3332imaeq1d 5189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) "
y ) )
34 imcl 12621 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
35 mbfconstlem 21129 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Im `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3634, 35sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3733, 36eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
3824, 37jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
3938ralrimivw 2821 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
40 ismbf1 21126 . 2  |-  ( ( A  X.  { B } )  e. MblFn  <->  ( ( A  X.  { B }
)  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  A. y  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol ) ) )
4110, 39, 40sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   {csn 3898    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    ^pm cpm 7236   CCcc 9301   RRcr 9302   (,)cioo 11321   Recre 12607   Imcim 12608   volcvol 20969  MblFncmbf 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xadd 11111  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-xmet 17832  df-met 17833  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121
This theorem is referenced by:  mbfss  21146  mbfmulc2lem  21147  mbfpos  21151  ibl0  21286  iblconst  21317  0mbf  28463
  Copyright terms: Public domain W3C validator