MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Unicode version

Theorem mbfconst 21908
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
2 fconstmpt 5049 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6056 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> CC )
4 mblss 21808 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
6 cnex 9585 . . . 4  |-  CC  e.  _V
7 reex 9595 . . . 4  |-  RR  e.  _V
8 elpm2r 7448 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  -> 
( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
96, 7, 8mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
103, 5, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
12 ref 12924 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re : CC --> RR )
1413feqmptd 5927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re `  y ) ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
161, 11, 14, 15fmptco 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )
17 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Re
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) )
1918cnveqd 5184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Re
`  B ) } ) )
2019imaeq1d 5342 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) "
y ) )
21 recl 12922 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
22 mbfconstlem 21902 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Re `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2321, 22sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2420, 23eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
25 imf 12925 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im : CC --> RR )
2726feqmptd 5927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im `  y ) ) )
28 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
291, 11, 27, 28fmptco 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )
30 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Im
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )
3129, 30syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) )
3231cnveqd 5184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Im
`  B ) } ) )
3332imaeq1d 5342 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) "
y ) )
34 imcl 12923 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
35 mbfconstlem 21902 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Im `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3634, 35sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3733, 36eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
3824, 37jca 532 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
3938ralrimivw 2882 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
40 ismbf1 21899 . 2  |-  ( ( A  X.  { B } )  e. MblFn  <->  ( ( A  X.  { B }
)  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  A. y  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol ) ) )
4110, 39, 40sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4033    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   "cima 5008    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502   RRcr 9503   (,)cioo 11541   Recre 12909   Imcim 12910   volcvol 21741  MblFncmbf 21889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-xmet 18280  df-met 18281  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894
This theorem is referenced by:  mbfss  21919  mbfmulc2lem  21920  mbfpos  21924  ibl0  22059  iblconst  22090  0mbf  29994
  Copyright terms: Public domain W3C validator