Theorem mbf0 37844

Description: The empty set is a measurable function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mbf0	|- (/) e. MblFn

Proof of Theorem mbf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnv0 5242	. . . . 5 |- `' (/) = (/)
2	1	imaeq1i 5168	. . . 4 |- ( `' (/) " x ) = ( (/) " x )
3		0ima 5187	. . . . 5 |- ( (/) " x ) = (/)
4		0mbl 22505	. . . . 5 |- (/) e. dom vol
5	3, 4	eqeltri 2527	. . . 4 |- ( (/) " x ) e. dom vol
6	2, 5	eqeltri 2527	. . 3 |- ( `' (/) " x ) e. dom vol
7	6	rgenw 2751	. 2 |- A. x e. ran (,) ( `' (/) " x ) e. dom vol
8		f0 5769	. . 3 |- (/) : (/) --> RR
9		ismbf 22598	. . 3 |- ( (/) : (/) --> RR -> ( (/) e. MblFn <-> A. x e. ran (,) ( `' (/) " x ) e. dom vol ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) e. MblFn <-> A. x e. ran (,) ( `' (/) " x ) e. dom vol )
11	7, 10	mpbir 213	1 |- (/) e. MblFn

Syntax hints:   <-> wb 188   e. wcel 1889   A.wral 2739   (/)c0 3733   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5581   RRcr 9543   (,)cioo 11642   volcvol 22427  MblFncmbf 22584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-xmet 18975  df-met 18976  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589

This theorem is referenced by:  iblempty  37852