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Theorem mayete3iOLD 26845
Description: TODO-NM: can this theorem be deleted? Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3673 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 26573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 26573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 26348 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 26121 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 10218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 10270 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 26122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 26176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
45 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 26573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 26348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
5136pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
525pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
5340pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
54 hvadd4 26151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5744, 56eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
6333, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
7059pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
71 hvadd4 26151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7312, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
75 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 26829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8378, 82mpan2 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8477, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )
8574, 84oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) ) )
86 hvmulcl 26128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 26154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 26155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9692, 94, 95syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9936pjcli 26533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
10040pjcli 26533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )
10136chshii 26343 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 26343 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 26480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 26533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
106101, 102shscli 26433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 26343 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 26480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
109104, 105, 108syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11012, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 26433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 26334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3493 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 26574 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 26573 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 26343 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 26493 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3498 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 26574 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3498 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3522 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    / cdiv 10202   2c2 10581   ~Hchil 26034    +h cva 26035    .h csm 26036    -h cmv 26040   SHcsh 26043   CHcch 26044   _|_cort 26045    +H cph 26046    vH chj 26048   proj hcpjh 26052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200  ax-hcompl 26317
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-lm 19897  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cfil 21860  df-cau 21861  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-subgo 25502  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-dip 25809  df-ssp 25833  df-ph 25926  df-cbn 25977  df-hnorm 26083  df-hba 26084  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-hcau 26088  df-sh 26322  df-ch 26337  df-oc 26368  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-chj 26426  df-pjh 26511
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