HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3iOLD Structured version   Unicode version

Theorem mayete3iOLD 25154
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3560 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 24882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 24882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 24657 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 24430 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 24431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 24485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 6131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
45 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 24882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 24657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
5136pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
525pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
5340pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
54 hvadd4 24460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5744, 56eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 6131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
6333, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
7059pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
71 hvadd4 24460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7312, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
75 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 25138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8378, 82mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8477, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )
8574, 84oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) ) )
86 hvmulcl 24437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 24463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 24464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9936pjcli 24842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
10040pjcli 24842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )
10136chshii 24652 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 24652 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 24789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 24842 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
106101, 102shscli 24742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 24652 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 24789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
109104, 105, 108syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11012, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 24742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 24643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3381 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 24883 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 24882 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 24652 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 24802 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3386 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 24883 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3386 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3410 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    / cdiv 10014   2c2 10392   ~Hchil 24343    +h cva 24344    .h csm 24345    -h cmv 24349   SHcsh 24352   CHcch 24353   _|_cort 24354    +H cph 24355    vH chj 24357   proj hcpjh 24361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-shs 24733  df-chj 24735  df-pjh 24820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator