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Theorem mayete3iOLD 26519
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3672 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 26247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 26247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 26022 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 25795 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 25796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2486 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 25850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
45 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 26247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 26022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
5136pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
525pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
5340pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
54 hvadd4 25825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
5744, 56eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 26502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
6333, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 25801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 25801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
7059pjhcli 26208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
71 hvadd4 25825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7312, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
75 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 26503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8378, 82mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) ) )
8477, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )
8574, 84oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) ) )
86 hvmulcl 25802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 25828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 25801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 25801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 25829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9936pjcli 26207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
10040pjcli 26207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )
10136chshii 26017 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 26017 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 26154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 26207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
106101, 102shscli 26107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 26017 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 26154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
109104, 105, 108syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  D ) `  x )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11012, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 26107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 26008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3493 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 26248 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 26247 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 26017 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 26167 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3498 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 26248 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3498 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3522 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    / cdiv 10212   2c2 10591   ~Hchil 25708    +h cva 25709    .h csm 25710    -h cmv 25714   SHcsh 25717   CHcch 25718   _|_cort 25719    +H cph 25720    vH chj 25722   proj hcpjh 25726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hvcom 25790  ax-hvass 25791  ax-hv0cl 25792  ax-hvaddid 25793  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulid 25795  ax-hvmulass 25796  ax-hvdistr1 25797  ax-hvdistr2 25798  ax-hvmul0 25799  ax-hfi 25868  ax-his1 25871  ax-his2 25872  ax-his3 25873  ax-his4 25874  ax-hcompl 25991
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-lm 19603  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cfil 21567  df-cau 21568  df-cmet 21569  df-grpo 25065  df-gid 25066  df-ginv 25067  df-gdiv 25068  df-ablo 25156  df-subgo 25176  df-vc 25311  df-nv 25357  df-va 25360  df-ba 25361  df-sm 25362  df-0v 25363  df-vs 25364  df-nmcv 25365  df-ims 25366  df-dip 25483  df-ssp 25507  df-ph 25600  df-cbn 25651  df-hnorm 25757  df-hba 25758  df-hvsub 25760  df-hlim 25761  df-hcau 25762  df-sh 25996  df-ch 26011  df-oc 26042  df-ch0 26043  df-shs 26098  df-chj 26100  df-pjh 26185
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