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Theorem mayete3i 26350
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 26079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 26079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 25854 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 25627 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
18 halfcn 10755 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 25628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 25682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 26334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 26334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
42 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 26079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 25854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
4733pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
483pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
4937pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
50 hvadd4 25657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5243, 45, 513syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5341, 52eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 26334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
5930, 58sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6028, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 25633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 25633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
6655pjhcli 26040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
67 hvadd4 25657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6911, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
71 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 26335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7973, 74, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )
8070, 79oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
81 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 25660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( 2  .h  x
) )
87 hvaddcl 25633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 25633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 25661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9288, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9311, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9486, 93eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9533pjcli 26039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  B )
9637pjcli 26039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
9733chshii 25849 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 25849 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 25986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 26039 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
10297, 98shscli 25939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 25849 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 25986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
105100, 101, 104syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
10611, 105syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 25939 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 25839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3508 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 26080 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 26079 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 25849 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 25999 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3513 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 26080 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3513 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3537 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    / cdiv 10206   2c2 10585   ~Hchil 25540    +h cva 25541    .h csm 25542    -h cmv 25546   SHcsh 25549   CHcch 25550   _|_cort 25551    +H cph 25552    vH chj 25554   proj hcpjh 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-chj 25932  df-pjh 26017
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