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Theorem mayete3i 26844
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3673 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 26573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 26573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 26348 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 26121 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 10218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
18 halfcn 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 26122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 26176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
42 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 26573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 26348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
4733pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
483pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
4937pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
50 hvadd4 26151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5243, 45, 513syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5341, 52eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 26828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
5930, 58sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6028, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
6655pjhcli 26534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
67 hvadd4 26151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6911, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
71 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 26829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7973, 74, 78sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )
8070, 79oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
81 hvmulcl 26128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 26154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( 2  .h  x
) )
87 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 26127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 26155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9288, 90, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9311, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9486, 93eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9533pjcli 26533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  B )
9637pjcli 26533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
9733chshii 26343 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 26343 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 26480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 26533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
10297, 98shscli 26433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 26343 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 26480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
105100, 101, 104syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
10611, 105syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 26333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3493 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 26574 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 26573 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 26343 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 26493 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3498 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 26574 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3498 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3522 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    / cdiv 10202   2c2 10581   ~Hchil 26034    +h cva 26035    .h csm 26036    -h cmv 26040   SHcsh 26043   CHcch 26044   _|_cort 26045    +H cph 26046    vH chj 26048   proj hcpjh 26052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200  ax-hcompl 26317
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-lm 19897  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cfil 21860  df-cau 21861  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-subgo 25502  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-dip 25809  df-ssp 25833  df-ph 25926  df-cbn 25977  df-hnorm 26083  df-hba 26084  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-hcau 26088  df-sh 26322  df-ch 26337  df-oc 26368  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-chj 26426  df-pjh 26511
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