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Theorem mayete3i 25153
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3560 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 24882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 24882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 24657 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 24430 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
18 halfcn 10562 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 24431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 24485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
42 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 24882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 24657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H )
4733pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )
483pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )
4937pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
50 hvadd4 24460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5243, 45, 513syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
5341, 52eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 25137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 6131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) ) )
5930, 58sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6028, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
6655pjhcli 24843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
67 hvadd4 24460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H )  /\  ( ( (
proj h `  F ) `
 x )  e. 
~H  /\  ( ( proj h `  G ) `
 x )  e. 
~H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
6911, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj h `  F ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  G ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) ) )
71 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 25138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) ) )
7973, 74, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )
8070, 79oveq12d 6130 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) ) )
81 hvmulcl 24437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 24463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( 2  .h  x
) )
87 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 24436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 24464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x )  +h  (
( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9288, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9311, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) )  +h  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )  -h  ( ( ( (
proj h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9486, 93eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) ) )
9533pjcli 24842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  x
)  e.  B )
9637pjcli 24842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )
9733chshii 24652 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 24652 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 24789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 24842 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  G ) `  x
)  e.  G )
10297, 98shscli 24742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 24652 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 24789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj h `  G ) `  x )  e.  G
)  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
105100, 101, 104syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  B ) `  x )  +h  (
( proj h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj h `  G ) `  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
10611, 105syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 24742 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 24642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1304 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3381 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 24883 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 24882 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 24652 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 24802 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3386 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 24883 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3386 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3410 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    / cdiv 10014   2c2 10392   ~Hchil 24343    +h cva 24344    .h csm 24345    -h cmv 24349   SHcsh 24352   CHcch 24353   _|_cort 24354    +H cph 24355    vH chj 24357   proj hcpjh 24361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-shs 24733  df-chj 24735  df-pjh 24820
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