Theorem mayete3OLDi 11309

Description: Mayet's equation E₃. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7.

Hypotheses

Ref	Expression
mayete3OLD.1	|- A e. CH
mayete3OLD.2	|- B e. CH
mayete3OLD.3	|- C e. CH
mayete3OLD.4	|- D e. CH
mayete3OLD.5	|- F e. CH
mayete3OLD.6	|- G e. CH
mayete3OLD.7	|- A C_ (_|_` B)
mayete3OLD.8	|- A C_ (_|_` C)
mayete3OLD.9	|- B C_ (_|_` C)
mayete3OLD.10	|- A C_ (_|_` D)
mayete3OLD.11	|- B C_ (_|_` F)
mayete3OLD.12	|- C C_ (_|_` G)
mayete3OLD.13	|- R = ((A vH B) vH C)
mayete3OLD.14	|- S = (((A vH D) i^i (B vH F)) i^i (C vH G))
mayete3OLD.15	|- T = ((D vH F) vH G)

Assertion

Ref	Expression
mayete3OLDi	|- (R i^i S) C_ T

Proof of Theorem mayete3OLDi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (x e. (R i^i S) <-> (x e. R /\ x e. S))
2		mayete3OLD.13	. . . . . . . . . . 11 |- R = ((A vH B) vH C)
3	2	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- (x e. R <-> x e. ((A vH B) vH C))
4		mayete3OLD.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. CH
5		mayete3OLD.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. CH
6	4, 5	chjcli 11013	. . . . . . . . . . . 12 |- (A vH B) e. CH
7		mayete3OLD.3	. . . . . . . . . . . 12 |- C e. CH
8	6, 7	chjcli 11013	. . . . . . . . . . 11 |- ((A vH B) vH C) e. CH
9	8	cheli 10735	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ((A vH B) vH C) -> x e. ~H)
10	3, 9	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- (x e. R -> x e. ~H)
11	10	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((x e. R /\ x e. S) -> x e. ~H)
12	1, 11	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (x e. (R i^i S) -> x e. ~H)
13		ax-hvmulid 10508	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (1 .h x) = x)
14		2cn 7164	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
15		2ne0 7174	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
16	14, 15	reccli 6902	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 2) e. CC
17		ax-hvmulass 10509	. . . . . . . . . 10 |- (((1 / 2) e. CC /\ 2 e. CC /\ x e. ~H) -> (((1 / 2) x. 2) .h x) = ((1 / 2) .h (2 .h x)))
18	16, 14, 17	mp3an12 1181	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> (((1 / 2) x. 2) .h x) = ((1 / 2) .h (2 .h x)))
19		recid2 6919	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2) x. 2) = 1)
20	14, 15, 19	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- ((1 / 2) x. 2) = 1
21	20	opreq1i 4892	. . . . . . . . 9 |- (((1 / 2) x. 2) .h x) = (1 .h x)
22	18, 21	syl5eqr 1942	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (1 .h x) = ((1 / 2) .h (2 .h x)))
23	13, 22	eqtr3d 1927	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> x = ((1 / 2) .h (2 .h x)))
24	12, 23	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. (R i^i S) -> x = ((1 / 2) .h (2 .h x)))
25		hv2times 10560	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (2 .h x) = (x +h x))
26	25	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> ((2 .h x) +h x) = ((x +h x) +h x))
27	12, 26	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (R i^i S) -> ((2 .h x) +h x) = ((x +h x) +h x))
28		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . 13 |- (R i^i S) C_ S
29	28	sseli 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (R i^i S) -> x e. S)
30		mayete3OLD.14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = (((A vH D) i^i (B vH F)) i^i (C vH G))
31	30	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. S <-> x e. (((A vH D) i^i (B vH F)) i^i (C vH G)))
32		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (((A vH D) i^i (B vH F)) i^i (C vH G)) <-> (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) /\ x e. (C vH G)))
33	31, 32	bitri 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. S <-> (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) /\ x e. (C vH G)))
34		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) <-> (x e. (A vH D) /\ x e. (B vH F)))
35		mayete3OLD.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A C_ (_|_` D)
36		mayete3OLD.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D e. CH
37	4, 36	pjdsi 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (A vH D) /\ A C_ (_|_` D)) -> x = (((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)))
38	35, 37	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. (A vH D) -> x = (((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)))
39		mayete3OLD.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B C_ (_|_` F)
40		mayete3OLD.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F e. CH
41	5, 40	pjdsi 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. (B vH F) /\ B C_ (_|_` F)) -> x = (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x)))
42	39, 41	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. (B vH F) -> x = (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x)))
43	38, 42	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. (A vH D) /\ x e. (B vH F)) -> (x +h x) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)) +h (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x))))
44	34, 43	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) -> (x +h x) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)) +h (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x))))
45		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A vH D) i^i (B vH F)) C_ (A vH D)
46	45	sseli 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) -> x e. (A vH D))
47	4, 36	chjcli 11013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A vH D) e. CH
48	47	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. (A vH D) -> x e. ~H)
49	46, 48	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) -> x e. ~H)
50	4	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> ((proj` A)` x) e. ~H)
51	36	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> ((proj` D)` x) e. ~H)
52	5	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> ((proj` B)` x) e. ~H)
53	40	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. ~H -> ((proj` F)` x) e. ~H)
54		hvadd4 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((proj` A)` x) e. ~H /\ ((proj` D)` x) e. ~H) /\ (((proj` B)` x) e. ~H /\ ((proj` F)` x) e. ~H)) -> ((((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)) +h (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x))) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))))
55	50, 51, 52, 53, 54	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. ~H -> ((((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)) +h (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x))) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))))
56	49, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) -> ((((proj` A)` x) +h ((proj` D)` x)) +h (((proj` B)` x) +h ((proj` F)` x))) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))))
57	44, 56	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) -> (x +h x) = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))))
58		mayete3OLD.12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ (_|_` G)
59		mayete3OLD.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G e. CH
60	7, 59	pjdsi 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (C vH G) /\ C C_ (_|_` G)) -> x = (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x)))
61	58, 60	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (C vH G) -> x = (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x)))
62	57, 61	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ((A vH D) i^i (B vH F)) /\ x e. (C vH G)) -> ((x +h x) +h x) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))))
63	33, 62	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. S -> ((x +h x) +h x) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))))
64	29, 63	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (R i^i S) -> ((x +h x) +h x) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))))
65		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((proj` A)` x) e. ~H /\ ((proj` B)` x) e. ~H) -> (((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) e. ~H)
66	50, 52, 65	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) e. ~H)
67		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((proj` D)` x) e. ~H /\ ((proj` F)` x) e. ~H) -> (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. ~H)
68	51, 53, 67	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. ~H)
69	7	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((proj` C)` x) e. ~H)
70	59	pjhcli 10885	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ~H -> ((proj` G)` x) e. ~H)
71		hvadd4 10537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) e. ~H /\ (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. ~H) /\ (((proj` C)` x) e. ~H /\ ((proj` G)` x) e. ~H)) -> (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))))
72	66, 68, 69, 70, 71	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ~H -> (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))))
73	12, 72	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (R i^i S) -> (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x))) +h (((proj` C)` x) +h ((proj` G)` x))) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))))
74	27, 64, 73	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (R i^i S) -> ((2 .h x) +h x) = (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))))
75		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . 13 |- (R i^i S) C_ R
76	75	sseli 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (R i^i S) -> x e. R)
77	76, 2	syl6eleq 1981	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (R i^i S) -> x e. ((A vH B) vH C))
78		mayete3OLD.7	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ (_|_` B)
79		mayete3OLD.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ (_|_` C)
80		mayete3OLD.9	. . . . . . . . . . . . 13 |- B C_ (_|_` C)
81	4, 5, 7	pjds3i 11293	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ((A vH B) vH C) /\ A C_ (_|_` B)) /\ (A C_ (_|_` C) /\ B C_ (_|_` C))) -> x = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)))
82	79, 80, 81	mpanr12 778	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ((A vH B) vH C) /\ A C_ (_|_` B)) -> x = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)))
83	78, 82	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ((A vH B) vH C) -> x = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)))
84	77, 83	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (R i^i S) -> x = ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)))
85	74, 84	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (x e. (R i^i S) -> (((2 .h x) +h x) -h x) = ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))) -h ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x))))
86		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2 e. CC /\ x e. ~H) -> (2 .h x) e. ~H)
87	14, 86	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (2 .h x) e. ~H)
88		hvpncan 10540	. . . . . . . . . . 11 |- (((2 .h x) e. ~H /\ x e. ~H) -> (((2 .h x) +h x) -h x) = (2 .h x))
89	87, 88	mpancom 769	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> (((2 .h x) +h x) -h x) = (2 .h x))
90	12, 89	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. (R i^i S) -> (((2 .h x) +h x) -h x) = (2 .h x))
91		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) e. ~H /\ ((proj` C)` x) e. ~H) -> ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) e. ~H)
92	66, 69, 91	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) e. ~H)
93		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. ~H /\ ((proj` G)` x) e. ~H) -> ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ~H)
94	68, 70, 93	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ~H)
95		hvpncan2 10541	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) e. ~H /\ ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ~H) -> ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))) -h ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x))) = ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)))
96	92, 94, 95	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))) -h ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x))) = ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)))
97	12, 96	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. (R i^i S) -> ((((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x)) +h ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x))) -h ((((proj` A)` x) +h ((proj` B)` x)) +h ((proj` C)` x))) = ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)))
98	85, 90, 97	3eqtr3d 1934	. . . . . . . 8 |- (x e. (R i^i S) -> (2 .h x) = ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)))
99	36	pjcli 10884	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((proj` D)` x) e. D)
100	40	pjcli 10884	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> ((proj` F)` x) e. F)
101	36	chshii 10730	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. SH
102	40	chshii 10730	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. SH
103	101, 102	shsvai 10966	. . . . . . . . . . 11 |- ((((proj` D)` x) e. D /\ ((proj` F)` x) e. F) -> (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. (D +H F))
104	99, 100, 103	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> (((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. (D +H F))
105	59	pjcli 10884	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((proj` G)` x) e. G)
106	101, 102	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (D +H F) e. SH
107	59	chshii 10730	. . . . . . . . . . 11 |- G e. SH
108	106, 107	shsvai 10966	. . . . . . . . . 10 |- (((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) e. (D +H F) /\ ((proj` G)` x) e. G) -> ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ((D +H F) +H G))
109	104, 105, 108	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ((D +H F) +H G))
110	12, 109	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. (R i^i S) -> ((((proj` D)` x) +h ((proj` F)` x)) +h ((proj` G)` x)) e. ((D +H F) +H G))
111	98, 110	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (x e. (R i^i S) -> (2 .h x) e. ((D +H F) +H G))
112	106, 107	shscli 10914	. . . . . . . . 9 |- ((D +H F) +H G) e. SH
113		shmulclOLD 10721	. . . . . . . . 9 |- (((D +H F) +H G) e. SH -> (((1 / 2) e. CC /\ (2 .h x) e. ((D +H F) +H G)) -> ((1 / 2) .h (2 .h x)) e. ((D +H F) +H G)))
114	112, 113	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (((1 / 2) e. CC /\ (2 .h x) e. ((D +H F) +H G)) -> ((1 / 2) .h (2 .h x)) e. ((D +H F) +H G))
115	16, 114	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((2 .h x) e. ((D +H F) +H G) -> ((1 / 2) .h (2 .h x)) e. ((D +H F) +H G))
116	111, 115	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. (R i^i S) -> ((1 / 2) .h (2 .h x)) e. ((D +H F) +H G))
117	24, 116	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- (x e. (R i^i S) -> x e. ((D +H F) +H G))
118	117	ssriv 2621	. . . 4 |- (R i^i S) C_ ((D +H F) +H G)
119	36, 40	chsleji 11014	. . . . 5 |- (D +H F) C_ (D vH F)
120	36, 40	chjcli 11013	. . . . . . 7 |- (D vH F) e. CH
121	120	chshii 10730	. . . . . 6 |- (D vH F) e. SH
122	106, 121, 107	shlessi 10980	. . . . 5 |- ((D +H F) C_ (D vH F) -> ((D +H F) +H G) C_ ((D vH F) +H G))
123	119, 122	ax-mp 7	. . . 4 |- ((D +H F) +H G) C_ ((D vH F) +H G)
124	118, 123	sstri 2626	. . 3 |- (R i^i S) C_ ((D vH F) +H G)
125	120, 59	chsleji 11014	. . 3 |- ((D vH F) +H G) C_ ((D vH F) vH G)
126	124, 125	sstri 2626	. 2 |- (R i^i S) C_ ((D vH F) vH G)
127		mayete3OLD.15	. 2 |- T = ((D vH F) vH G)
128	126, 127	sseqtr4i 2650	1 |- (R i^i S) C_ T

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447  2c2 7145  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431   +H cph 10432   vH chj 10434  projcpj 10438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-chj 10908

Copyright terms: Public domain