MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxlt Structured version   Unicode version

Theorem maxlt 11336
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
maxlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )

Proof of Theorem maxlt
StepHypRef Expression
1 rexr 9572 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9572 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 rexr 9572 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
4 xrmaxlt 11325 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1268 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1836   ifcif 3874   class class class wbr 4384   RRcr 9424   RR*cxr 9560    < clt 9561    <_ cle 9562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567
This theorem is referenced by:  mbfposr  22167  cxploglim  23447
  Copyright terms: Public domain W3C validator