MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxlp Structured version   Unicode version

Theorem maxlp 18749
Description: A point is a limit point of the whole space iff the singleton of the point is not open. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
maxlp  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )

Proof of Theorem maxlp
StepHypRef Expression
1 ssid 3373 . . . . 5  |-  X  C_  X
2 lpfval.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32lpss 18744 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  X )  C_  X )
41, 3mpan2 671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( limPt `  J ) `  X )  C_  X
)
54sseld 3353 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  ->  P  e.  X ) )
65pm4.71rd 635 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( limPt `  J
) `  X )
) ) )
7 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
82islp 18742 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
97, 1, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
10 snssi 4015 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  { P }  C_  X )
112clsdif 18655 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X  \  (
( int `  J
) `  { P } ) ) )
1210, 11sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X 
\  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) )
1312eleq2d 2508 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  <->  P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) ) )
14 eldif 3336 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1514baib 896 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1615adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
17 snssi 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  { P } )  ->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  { P } ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  { P } ) )
192ntrss2 18659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  C_  { P } )
2010, 19sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2218, 21eqssd 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  =  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
232ntropn 18651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  e.  J )
2410, 23sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2622, 25eqeltrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  e.  J
)
27 snidg 3901 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  X  ->  P  e.  { P } )
2827ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  { P } )
29 isopn3i 18684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  =  { P } )
3029adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  (
( int `  J
) `  { P } )  =  { P } )
3128, 30eleqtrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
3226, 31impbida 828 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  { P }  e.  J )
)
3332notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3416, 33bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
359, 13, 343bitrd 279 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3635pm5.32da 641 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( P  e.  X  /\  P  e.  (
( limPt `  J ) `  X ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
376, 36bitrd 253 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3323    C_ wss 3326   {csn 3875   U.cuni 4089   ` cfv 5416   Topctop 18496   intcnt 18619   clsccl 18620   limPtclp 18736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-top 18501  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-lp 18738
This theorem is referenced by:  isperf3  18755
  Copyright terms: Public domain W3C validator