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Theorem maxlp 19774
Description: A point is a limit point of the whole space iff the singleton of the point is not open. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
maxlp  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )

Proof of Theorem maxlp
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . . . . 5  |-  X  C_  X
2 lpfval.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32lpss 19769 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  X )  C_  X )
41, 3mpan2 671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( limPt `  J ) `  X )  C_  X
)
54sseld 3498 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  ->  P  e.  X ) )
65pm4.71rd 635 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( limPt `  J
) `  X )
) ) )
7 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
82islp 19767 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
97, 1, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
10 snssi 4176 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  { P }  C_  X )
112clsdif 19680 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X  \  (
( int `  J
) `  { P } ) ) )
1210, 11sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X 
\  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) )
1312eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  <->  P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) ) )
14 eldif 3481 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1514baib 903 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1615adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
17 snssi 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  { P } )  ->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  { P } ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  { P } ) )
192ntrss2 19684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  C_  { P } )
2010, 19sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2218, 21eqssd 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  =  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
232ntropn 19676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  e.  J )
2410, 23sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2622, 25eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  e.  J
)
27 snidg 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  X  ->  P  e.  { P } )
2827ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  { P } )
29 isopn3i 19709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  =  { P } )
3029adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  (
( int `  J
) `  { P } )  =  { P } )
3128, 30eleqtrrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
3226, 31impbida 832 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  { P }  e.  J )
)
3332notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3416, 33bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
359, 13, 343bitrd 279 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3635pm5.32da 641 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( P  e.  X  /\  P  e.  (
( limPt `  J ) `  X ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
376, 36bitrd 253 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19520   intcnt 19644   clsccl 19645   limPtclp 19761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-top 19525  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-lp 19763
This theorem is referenced by:  isperf3  19780
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