MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1ALT Structured version   Unicode version

Theorem max1ALT 11272
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. This version of max1 11271 omits the  B  e.  RR antecedent. Although it doesn't exploit undefined behavior, it is still considered poor style, and the use of max1 11271 is preferred. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1ALT  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1ALT
StepHypRef Expression
1 leid 9584 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 iffalse 3910 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
32breq2d 4415 . . 3  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <->  A  <_  A ) )
41, 3syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
6 iftrue 3908 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
75, 6breqtrrd 4429 . 2  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
84, 7pm2.61d2 160 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1758   ifcif 3902   class class class wbr 4403   RRcr 9395    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator