MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Unicode version

Theorem max1 11392
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 11393. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9639 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9639 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 11382 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802   ifcif 3923   class class class wbr 4434   RRcr 9491   RR*cxr 9627    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
This theorem is referenced by:  z2ge  11403  uzsup  11966  expmulnbnd  12274  discr1  12278  rexuzre  13161  rexico  13162  caubnd  13167  limsupgre  13280  limsupbnd2  13282  rlim3  13297  lo1bdd2  13323  o1lo1  13336  rlimclim1  13344  lo1mul  13426  rlimno1  13452  cvgrat  13668  ruclem10  13846  bitsfzo  13959  1arith  14319  evth  21329  ioombl1lem1  21838  mbfi1flimlem  21999  itg2monolem3  22029  iblre  22070  itgreval  22073  iblss  22081  i1fibl  22084  itgitg1  22085  itgle  22086  itgeqa  22090  iblconst  22094  itgconst  22095  ibladdlem  22096  itgaddlem2  22100  iblabslem  22104  iblabsr  22106  iblmulc2  22107  itgmulc2lem2  22109  itgsplit  22112  plyaddlem1  22480  coeaddlem  22515  o1cxp  23173  cxp2lim  23175  cxploglim2  23177  ftalem1  23215  ftalem2  23216  chtppilim  23529  dchrisumlem3  23545  ostth2lem2  23688  ostth3  23692  ibladdnclem  30043  itgaddnclem2  30046  iblabsnclem  30050  iblmulc2nc  30052  itgmulc2nclem2  30054  ftc1anclem5  30066  irrapxlem4  30733  irrapxlem5  30734  climsuse  31522  ioodvbdlimc1lem2  31633  ioodvbdlimc2lem  31635
  Copyright terms: Public domain W3C validator