MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Unicode version

Theorem max1 11382
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 11383. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9635 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9635 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 11372 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447   RRcr 9487   RR*cxr 9623    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630
This theorem is referenced by:  z2ge  11393  uzsup  11954  expmulnbnd  12262  discr1  12266  rexuzre  13144  rexico  13145  caubnd  13150  limsupgre  13263  limsupbnd2  13265  rlim3  13280  lo1bdd2  13306  o1lo1  13319  rlimclim1  13327  lo1mul  13409  rlimno1  13435  cvgrat  13651  ruclem10  13829  bitsfzo  13940  1arith  14300  evth  21194  ioombl1lem1  21703  mbfi1flimlem  21864  itg2monolem3  21894  iblre  21935  itgreval  21938  iblss  21946  i1fibl  21949  itgitg1  21950  itgle  21951  itgeqa  21955  iblconst  21959  itgconst  21960  ibladdlem  21961  itgaddlem2  21965  iblabslem  21969  iblabsr  21971  iblmulc2  21972  itgmulc2lem2  21974  itgsplit  21977  plyaddlem1  22345  coeaddlem  22380  o1cxp  23032  cxp2lim  23034  cxploglim2  23036  ftalem1  23074  ftalem2  23075  chtppilim  23388  dchrisumlem3  23404  ostth2lem2  23547  ostth3  23551  ibladdnclem  29648  itgaddnclem2  29651  iblabsnclem  29655  iblmulc2nc  29657  itgmulc2nclem2  29659  ftc1anclem5  29671  irrapxlem4  30365  irrapxlem5  30366  climsuse  31150  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264
  Copyright terms: Public domain W3C validator