MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Unicode version

Theorem max1 10729
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 10730. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9086 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9086 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 10719 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   ifcif 3699   class class class wbr 4172   RRcr 8945   RR*cxr 9075    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  z2ge  10740  uzsup  11199  expmulnbnd  11466  discr1  11470  rexuzre  12111  rexico  12112  caubnd  12117  limsupgre  12230  limsupbnd2  12232  rlim3  12247  lo1bdd2  12273  o1lo1  12286  rlimclim1  12294  lo1mul  12376  rlimno1  12402  cvgrat  12615  ruclem10  12793  bitsfzo  12902  1arith  13250  evth  18937  ioombl1lem1  19405  mbfi1flimlem  19567  itg2monolem3  19597  iblre  19638  itgreval  19641  iblss  19649  i1fibl  19652  itgitg1  19653  itgle  19654  itgeqa  19658  iblconst  19662  itgconst  19663  ibladdlem  19664  itgaddlem2  19668  iblabslem  19672  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgmulc2lem2  19677  itgsplit  19680  plyaddlem1  20085  coeaddlem  20120  o1cxp  20766  cxp2lim  20768  cxploglim2  20770  ftalem1  20808  ftalem2  20809  chtppilim  21122  dchrisumlem3  21138  ostth2lem2  21281  ostth3  21285  ibladdnclem  26160  itgaddnclem2  26163  iblabsnclem  26167  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nclem2  26171  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  climsuse  27601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator