MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Unicode version

Theorem max1 11162
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 11163. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9434 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9434 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 11152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   ifcif 3796   class class class wbr 4297   RRcr 9286   RR*cxr 9422    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429
This theorem is referenced by:  z2ge  11173  uzsup  11707  expmulnbnd  12001  discr1  12005  rexuzre  12845  rexico  12846  caubnd  12851  limsupgre  12964  limsupbnd2  12966  rlim3  12981  lo1bdd2  13007  o1lo1  13020  rlimclim1  13028  lo1mul  13110  rlimno1  13136  cvgrat  13348  ruclem10  13526  bitsfzo  13636  1arith  13993  evth  20536  ioombl1lem1  21044  mbfi1flimlem  21205  itg2monolem3  21235  iblre  21276  itgreval  21279  iblss  21287  i1fibl  21290  itgitg1  21291  itgle  21292  itgeqa  21296  iblconst  21300  itgconst  21301  ibladdlem  21302  itgaddlem2  21306  iblabslem  21310  iblabsr  21312  iblmulc2  21313  itgmulc2lem2  21315  itgsplit  21318  plyaddlem1  21686  coeaddlem  21721  o1cxp  22373  cxp2lim  22375  cxploglim2  22377  ftalem1  22415  ftalem2  22416  chtppilim  22729  dchrisumlem3  22745  ostth2lem2  22888  ostth3  22892  ibladdnclem  28453  itgaddnclem2  28456  iblabsnclem  28460  iblmulc2nc  28462  itgmulc2nclem2  28464  ftc1anclem5  28476  irrapxlem4  29171  irrapxlem5  29172  climsuse  29786
  Copyright terms: Public domain W3C validator