MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Unicode version

Theorem max1 11153
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 11154. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9425 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9425 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 11143 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   ifcif 3788   class class class wbr 4289   RRcr 9277   RR*cxr 9413    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420
This theorem is referenced by:  z2ge  11164  uzsup  11698  expmulnbnd  11992  discr1  11996  rexuzre  12836  rexico  12837  caubnd  12842  limsupgre  12955  limsupbnd2  12957  rlim3  12972  lo1bdd2  12998  o1lo1  13011  rlimclim1  13019  lo1mul  13101  rlimno1  13127  cvgrat  13339  ruclem10  13517  bitsfzo  13627  1arith  13984  evth  20490  ioombl1lem1  20998  mbfi1flimlem  21159  itg2monolem3  21189  iblre  21230  itgreval  21233  iblss  21241  i1fibl  21244  itgitg1  21245  itgle  21246  itgeqa  21250  iblconst  21254  itgconst  21255  ibladdlem  21256  itgaddlem2  21260  iblabslem  21264  iblabsr  21266  iblmulc2  21267  itgmulc2lem2  21269  itgsplit  21272  plyaddlem1  21640  coeaddlem  21675  o1cxp  22327  cxp2lim  22329  cxploglim2  22331  ftalem1  22369  ftalem2  22370  chtppilim  22683  dchrisumlem3  22699  ostth2lem2  22842  ostth3  22846  ibladdnclem  28373  itgaddnclem2  28376  iblabsnclem  28380  iblmulc2nc  28382  itgmulc2nclem2  28384  ftc1anclem5  28396  irrapxlem4  29091  irrapxlem5  29092  climsuse  29706
  Copyright terms: Public domain W3C validator