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Theorem max0add 13225
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0red 9586 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
2 id 22 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
3 recn 9571 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
43adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
54addid1d 9769 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  0 )  =  A )
6 iftrue 3935 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
76adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
8 le0neg2 10057 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
98biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  <_ 
0 )
11 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  0  <_  -u A )
12 renegcl 9873 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  e.  RR )
14 0re 9585 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
15 letri3 9659 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1710, 11, 16mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  =  0 )
1817ifeq1da 3959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 ) )
19 ifid 3966 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 )  =  0
2018, 19syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
217, 20oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  + 
0 ) )
22 absid 13211 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
235, 21, 223eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
243adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
2524negcld 9909 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u A  e.  CC )
2625addid2d 9770 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  +  -u A )  =  -u A )
27 letri3 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2814, 27mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2928biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  A  =  0 ) )
3029impl 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  A
)  ->  A  = 
0 )
3130ifeq1da 3959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  0 ,  0 ) )
32 ifid 3966 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  A , 
0 ,  0 )  =  0
3331, 32syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
34 le0neg1 10056 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3534biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
3635iftrued 3937 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3733, 36oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  + 
-u A ) )
38 absnid 13213 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
3926, 37, 383eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
401, 2, 23, 39lecasei 9679 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ifcif 3929   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    <_ cle 9618   -ucneg 9797   abscabs 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151
This theorem is referenced by:  iblabslem  22400  iblabsnclem  30318
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