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Theorem max0add 12910
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0red 9491 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
2 id 22 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
3 recn 9476 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
54addid1d 9673 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  0 )  =  A )
6 iftrue 3898 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
8 le0neg2 9952 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
98biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  <_ 
0 )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  0  <_  -u A )
12 renegcl 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  e.  RR )
14 0re 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
15 letri3 9564 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1710, 11, 16mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  =  0 )
1817ifeq1da 3920 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 ) )
19 ifid 3927 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 )  =  0
2018, 19syl6eq 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
217, 20oveq12d 6211 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  + 
0 ) )
22 absid 12896 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
235, 21, 223eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
243adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
2524negcld 9810 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u A  e.  CC )
2625addid2d 9674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  +  -u A )  =  -u A )
27 letri3 9564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2814, 27mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2928biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  A  =  0 ) )
3029impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  A
)  ->  A  = 
0 )
3130ifeq1da 3920 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  0 ,  0 ) )
32 ifid 3927 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  A , 
0 ,  0 )  =  0
3331, 32syl6eq 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
34 le0neg1 9951 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3534biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
36 iftrue 3898 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3833, 37oveq12d 6211 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  + 
-u A ) )
39 absnid 12898 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
4026, 38, 393eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
411, 2, 23, 40lecasei 9584 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3892   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386    + caddc 9389    <_ cle 9523   -ucneg 9700   abscabs 12834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836
This theorem is referenced by:  iblabslem  21431  iblabsnclem  28596
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