MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulval Structured version   Unicode version

Theorem mavmulval 19341
Description: Multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mavmulval.m  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
mavmulval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmulval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mavmulval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
mavmulval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mavmulval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
Assertion
Ref Expression
mavmulval  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, N    R, i, j    i, X, j    i, Y, j    .x. , i    ph, i, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    B( i, j)    .x. ( j)    .X. ( i,
j)    V( i, j)

Proof of Theorem mavmulval
StepHypRef Expression
1 mavmulval.m . 2  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
2 mavmulval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mavmulval.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 mavmulval.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 mavmulval.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 mavmulval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
7 mavmulval.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
87, 2matbas2 19217 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
95, 4, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
106, 9eleqtrrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
11 mavmulval.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
121, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11mvmulval 19339 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   <.cop 3980    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   Basecbs 14843   .rcmulr 14912    gsumg cgsu 15057   Mat cmat 19203   maVecMul cmvmul 19336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-ot 3983  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-hom 14935  df-cco 14936  df-0g 15058  df-prds 15064  df-pws 15066  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-dsmm 19063  df-frlm 19078  df-mat 19204  df-mvmul 19337
This theorem is referenced by:  mavmulfv  19342  mavmulcl  19343  1mavmul  19344  mavmul0  19348
  Copyright terms: Public domain W3C validator