MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulval Structured version   Unicode version

Theorem mavmulval 18809
Description: Multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mavmulval.m  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
mavmulval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmulval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mavmulval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
mavmulval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mavmulval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
Assertion
Ref Expression
mavmulval  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, N    R, i, j    i, X, j    i, Y, j    .x. , i    ph, i, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    B( i, j)    .x. ( j)    .X. ( i,
j)    V( i, j)

Proof of Theorem mavmulval
StepHypRef Expression
1 mavmulval.m . 2  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
2 mavmulval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mavmulval.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 mavmulval.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
5 mavmulval.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 mavmulval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
7 mavmulval.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
87, 2matbas2 18685 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
95, 4, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
106, 9eleqtrrd 2553 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
11 mavmulval.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
121, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11mvmulval 18807 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   <.cop 4028    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   Basecbs 14481   .rcmulr 14547    gsumg cgsu 14687   Mat cmat 18671   maVecMul cmvmul 18804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-prds 14694  df-pws 14696  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672  df-mvmul 18805
This theorem is referenced by:  mavmulfv  18810  mavmulcl  18811  1mavmul  18812  mavmul0  18816
  Copyright terms: Public domain W3C validator