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Theorem mavmulsolcl 19576
Description: Every solution of the equation  A * X  =  Y for a matrix  A and a vector  B is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmuldm.c  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
mavmuldm.d  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
mavmuldm.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
mavmulsolcl.e  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2  |-  ( X  e.  D  ->  (
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
) )
2 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  R  e.  V )
32adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  R  e.  V )
4 simpl1 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  M  e.  Fin )
5 simpl2 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  N  e.  Fin )
63, 4, 53jca 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( R  e.  V  /\  M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
76adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
8 mavmuldm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
10 mavmuldm.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
128, 9, 10, 11mavmuldm 19575 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
137, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
14 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  X  e.  D
)
1514intnand 927 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )
16 ndmovg 6452 . . . . 5  |-  ( ( dom  .x.  =  ( C  X.  D )  /\  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )  ->  ( A  .x.  X )  =  (/) )
1713, 15, 16syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  =  (/) )
18 eqeq1 2455 . . . . . 6  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
19 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  Y : M --> B )
20 f0dom0 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =  (/)  <->  Y  =  (/) ) )
2120biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y : M --> B  -> 
( Y  =  (/)  ->  M  =  (/) ) )
2221necon3d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =/=  (/)  ->  Y  =/=  (/) ) )
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =/=  (/)  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
24233ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : M --> B  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : M --> B  -> 
( R  e.  V  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
2927, 28eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  E  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
3029impcom 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
3130impcom 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  Y  =/=  (/) )
32 eqneqall 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  X  e.  D ) )
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3433adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3534com12 32 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3635eqcoms 2459 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3718, 36syl6bi 232 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  (
( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
) )  ->  X  e.  D ) ) )
3837com23 81 . . . 4  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) ) )
3917, 38mpcom 37 . . 3  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) )
4039ex 436 . 2  |-  ( -.  X  e.  D  -> 
( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) ) )
411, 40pm2.61i 168 1  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   (/)c0 3731   <.cop 3974    X. cxp 4832   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   Basecbs 15121   maVecMul cmvmul 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-map 7474  df-mvmul 19566
This theorem is referenced by:  slesolvec  19704  cramerimplem2  19709
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