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Theorem mavmulsolcl 18922
Description: Every solution of the equation  A * X  =  Y for a matrix  A and a vector  B is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmuldm.c  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
mavmuldm.d  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
mavmuldm.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
mavmulsolcl.e  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
)
21a1d 25 . 2  |-  ( X  e.  D  ->  (
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
) )
3 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  R  e.  V )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  R  e.  V )
5 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  M  e.  Fin )
6 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  N  e.  Fin )
74, 5, 63jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( R  e.  V  /\  M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9 mavmuldm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 mavmuldm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
11 mavmuldm.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
12 mavmuldm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
139, 10, 11, 12mavmuldm 18921 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
148, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
15 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  X  e.  D
)
1615intnand 914 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )
17 ndmovg 6453 . . . . 5  |-  ( ( dom  .x.  =  ( C  X.  D )  /\  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )  ->  ( A  .x.  X )  =  (/) )
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  =  (/) )
19 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
20 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  Y : M --> B )
21 f0dom0 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =  (/)  <->  Y  =  (/) ) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y : M --> B  -> 
( Y  =  (/)  ->  M  =  (/) ) )
2322necon3d 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =/=  (/)  ->  Y  =/=  (/) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =/=  (/)  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
25243ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : M --> B  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : M --> B  -> 
( R  e.  V  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
29 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
3028, 29eleq2s 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  E  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  Y  =/=  (/) )
33 eqneqall 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  X  e.  D ) )
3432, 33syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3635com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3736eqcoms 2479 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3819, 37syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  (
( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
) )  ->  X  e.  D ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) ) )
4018, 39mpcom 36 . . 3  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) )
4140ex 434 . 2  |-  ( -.  X  e.  D  -> 
( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) ) )
422, 41pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   <.cop 4039    X. cxp 5003   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   Basecbs 14507   maVecMul cmvmul 18911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-mvmul 18912
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