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Theorem mavmulsolcl 19220
Description: Every solution of the equation  A * X  =  Y for a matrix  A and a vector  B is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmuldm.c  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
mavmuldm.d  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
mavmuldm.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
mavmulsolcl.e  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
)
21a1d 25 . 2  |-  ( X  e.  D  ->  (
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
) )
3 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  R  e.  V )
43adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  R  e.  V )
5 simpl1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  M  e.  Fin )
6 simpl2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  N  e.  Fin )
74, 5, 63jca 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( R  e.  V  /\  M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9 mavmuldm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 mavmuldm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
11 mavmuldm.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
12 mavmuldm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
139, 10, 11, 12mavmuldm 19219 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
148, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
15 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  X  e.  D
)
1615intnand 914 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )
17 ndmovg 6431 . . . . 5  |-  ( ( dom  .x.  =  ( C  X.  D )  /\  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )  ->  ( A  .x.  X )  =  (/) )
1814, 16, 17syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  =  (/) )
19 eqeq1 2458 . . . . . 6  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
20 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  Y : M --> B )
21 f0dom0 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =  (/)  <->  Y  =  (/) ) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y : M --> B  -> 
( Y  =  (/)  ->  M  =  (/) ) )
2322necon3d 2678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =/=  (/)  ->  Y  =/=  (/) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =/=  (/)  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
25243ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : M --> B  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : M --> B  -> 
( R  e.  V  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
29 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
3028, 29eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  E  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
3130impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
3231impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  Y  =/=  (/) )
33 eqneqall 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  X  e.  D ) )
3432, 33syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3534adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3635com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3736eqcoms 2466 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3819, 37syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  (
( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
) )  ->  X  e.  D ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) ) )
4018, 39mpcom 36 . . 3  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) )
4140ex 432 . 2  |-  ( -.  X  e.  D  -> 
( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) ) )
422, 41pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   (/)c0 3783   <.cop 4022    X. cxp 4986   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   maVecMul cmvmul 19209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-mvmul 19210
This theorem is referenced by:  slesolvec  19348  cramerimplem2  19353
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