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Theorem mavmulsolcl 18492
Description: Every solution of the equation  A * X  =  Y for a matrix  A and a vector  B is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmuldm.c  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
mavmuldm.d  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
mavmuldm.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
mavmulsolcl.e  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
)
21a1d 25 . 2  |-  ( X  e.  D  ->  (
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) )  ->  (
( A  .x.  X
)  =  Y  ->  X  e.  D )
) )
3 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  R  e.  V )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  R  e.  V )
5 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  M  e.  Fin )
6 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  N  e.  Fin )
74, 5, 63jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( R  e.  V  /\  M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
9 mavmuldm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 mavmuldm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )
11 mavmuldm.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( B  ^m  N
)
12 mavmuldm.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. M ,  N >. )
139, 10, 11, 12mavmuldm 18491 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
148, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  dom  .x.  =  ( C  X.  D ) )
15 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  X  e.  D
)
1615intnand 907 . . . . 5  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )
17 ndmovg 6359 . . . . 5  |-  ( ( dom  .x.  =  ( C  X.  D )  /\  -.  ( A  e.  C  /\  X  e.  D
) )  ->  ( A  .x.  X )  =  (/) )
1814, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( A  .x.  X
)  =  (/) )
19 eqeq1 2458 . . . . . 6  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
20 elmapi 7347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  Y : M --> B )
21 f0dom0 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =  (/)  <->  Y  =  (/) ) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y : M --> B  -> 
( Y  =  (/)  ->  M  =  (/) ) )
2322necon3d 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y : M --> B  -> 
( M  =/=  (/)  ->  Y  =/=  (/) ) )
2423com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =/=  (/)  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
25243ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  ( Y : M --> B  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : M --> B  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : M --> B  -> 
( R  e.  V  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  M )  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
29 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( B  ^m  M
)
3028, 29eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  E  ->  ( R  e.  V  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )  ->  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  ->  Y  =/=  (/) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  Y  =/=  (/) )
33 eqneqall 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  X  e.  D ) )
3432, 33syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  X  e.  D ) )
3635com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3736eqcoms 2466 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  ->  X  e.  D )
)
3819, 37syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  (
( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
) )  ->  X  e.  D ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( A  .x.  X )  =  (/)  ->  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) ) )
4018, 39mpcom 36 . . 3  |-  ( ( -.  X  e.  D  /\  ( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E
) ) )  -> 
( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D
) )
4140ex 434 . 2  |-  ( -.  X  e.  D  -> 
( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) ) )
422, 41pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  M  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  E )
)  ->  ( ( A  .x.  X )  =  Y  ->  X  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3748   <.cop 3994    X. cxp 4949   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   maVecMul cmvmul 18481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-map 7329  df-mvmul 18482
This theorem is referenced by:  slesolvec  18620  cramerimplem2  18625
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