MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulfv Structured version   Unicode version

Theorem mavmulfv 19156
Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mavmulval.m  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
mavmulval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmulval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mavmulval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
mavmulval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mavmulval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
mavmulfv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mavmulfv  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y ) `  I
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    R, j    j, X    j, Y    ph, j    j, I
Allowed substitution hints:    A( j)    B( j)    .x. ( j)    .X. ( j)    V( j)

Proof of Theorem mavmulfv
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulval.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mavmulval.m . . 3  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 mavmulval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 mavmulval.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mavmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
6 mavmulval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mavmulval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
8 mavmulval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 19155 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
10 oveq1 6225 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
i X j )  =  ( I X j ) )
1110adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
i X j )  =  ( I X j ) )
1211oveq1d 6233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y `
 j ) )  =  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j ) ) )
1312mpteq2dv 4471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `
 j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j ) 
.x.  ( Y `  j ) ) ) )
1413oveq2d 6234 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
15 mavmulfv.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
16 ovex 6246 . . 3  |-  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  e. 
_V
1716a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  e. 
_V )
189, 14, 15, 17fvmptd 5879 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y ) `  I
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051   <.cop 3967    |-> cmpt 4442   ` cfv 5513  (class class class)co 6218    ^m cmap 7360   Fincfn 7457   Basecbs 14657   .rcmulr 14726    gsumg cgsu 14871   Mat cmat 19017   maVecMul cmvmul 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-hom 14749  df-cco 14750  df-0g 14872  df-prds 14878  df-pws 14880  df-sra 17954  df-rgmod 17955  df-dsmm 18877  df-frlm 18892  df-mat 19018  df-mvmul 19151
This theorem is referenced by:  mavmulass  19159  mulmarep1gsum2  19184
  Copyright terms: Public domain W3C validator