MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulfv Structured version   Unicode version

Theorem mavmulfv 18483
Description: A cell/element in the vector resulting from a multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 18-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mavmulval.m  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
mavmulval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mavmulval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mavmulval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
mavmulval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mavmulval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
mavmulfv.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mavmulfv  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y ) `  I
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
Distinct variable groups:    j, N    R, j    j, X    j, Y    ph, j    j, I
Allowed substitution hints:    A( j)    B( j)    .x. ( j)    .X. ( j)    V( j)

Proof of Theorem mavmulfv
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulval.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mavmulval.m . . 3  |-  .X.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 mavmulval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 mavmulval.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mavmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
6 mavmulval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mavmulval.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
8 mavmulval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 18482 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) ) )
10 oveq1 6206 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
i X j )  =  ( I X j ) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
i X j )  =  ( I X j ) )
1211oveq1d 6214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y `
 j ) )  =  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j ) ) )
1312mpteq2dv 4486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `
 j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j ) 
.x.  ( Y `  j ) ) ) )
1413oveq2d 6215 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  =  I )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
15 mavmulfv.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
16 ovex 6224 . . 3  |-  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  e. 
_V
1716a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) )  e. 
_V )
189, 14, 15, 17fvmptd 5887 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y ) `  I
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( I X j )  .x.  ( Y `  j )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076   <.cop 3990    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   Fincfn 7419   Basecbs 14291   .rcmulr 14357    gsumg cgsu 14497   Mat cmat 18404   maVecMul cmvmul 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-ot 3993  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-hom 14380  df-cco 14381  df-0g 14498  df-prds 14504  df-pws 14506  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-dsmm 18281  df-frlm 18296  df-mat 18406  df-mvmul 18478
This theorem is referenced by:  mavmulass  18486  mulmarep1gsum2  18511
  Copyright terms: Public domain W3C validator