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Theorem mavmulass 18488
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
1mavmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
1mavmul.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
1mavmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1mavmul.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
1mavmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
mavmulass.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
mavmulass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  A ) )
Assertion
Ref Expression
mavmulass  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  =  ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 1mavmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 1mavmul.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 1mavmul.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 1mavmul.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mavmulass.m . . . . . 6  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
8 mavmulass.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
91, 3matbas2 18448 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
106, 5, 9syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
118, 10eleqtrrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
12 mavmulass.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  A ) )
1312, 10eleqtrrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 18427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1514, 10eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  ( Base `  A ) )
16 1mavmul.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 18486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  N ) )
18 elmapi 7345 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Z
)  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  N
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y ) : N --> B )
19 ffn 5668 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Z
)  .x.  Y ) : N --> B  ->  (
( X  .X.  Z
)  .x.  Y )  Fn  N )
2017, 18, 193syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  Fn  N )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 18486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  N ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 18486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  e.  ( B  ^m  N ) )
23 elmapi 7345 . . 3  |-  ( ( X  .x.  ( Z 
.x.  Y ) )  e.  ( B  ^m  N )  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) ) : N --> B )
24 ffn 5668 . . 3  |-  ( ( X  .x.  ( Z 
.x.  Y ) ) : N --> B  -> 
( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  Fn  N )
2522, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  Fn  N )
26 rngcmn 16799 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
275, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2827adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
296adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
305ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
31 elmapi 7345 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
3211, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  X :
( N  X.  N
) --> B )
34 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
35 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  k  e.  N )
3633, 34, 35fovrnd 6346 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( i X k )  e.  B )
37 elmapi 7345 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
3813, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  Z :
( N  X.  N
) --> B )
40 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
4139, 35, 40fovrnd 6346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( k Z j )  e.  B )
42 elmapi 7345 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  ->  Y : N --> B )
43 ffvelrn 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y : N --> B  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j
)  e.  B )
4443ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y : N --> B  -> 
( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4516, 42, 443syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4645imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
4746ad2ant2r 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( Y `  j )  e.  B
)
483, 4rngcl 16782 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k Z j )  e.  B  /\  ( Y `  j )  e.  B )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )
4930, 41, 47, 48syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  e.  B )
503, 4rngcl 16782 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X k )  e.  B  /\  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )  -> 
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  e.  B )
5130, 36, 49, 50syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )  e.  B )
523, 28, 29, 29, 51gsumcom3fi 18426 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
535ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
546ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
5511ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5613ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
58 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
597, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58mamufv 18411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  .X.  Z ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ) ) )
6059oveq1d 6216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
61 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
62 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6346adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
67 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
6966, 67, 68fovrnd 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
i X k )  e.  B )
7069adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i X k )  e.  B )
7138adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
73 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
74 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
7572, 73, 74fovrnd 6346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k Z j )  e.  B )
763, 4rngcl 16782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X k )  e.  B  /\  (
k Z j )  e.  B )  -> 
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) )  e.  B )
7765, 70, 75, 76syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) )  e.  B )
78 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) )
79 ovex 6226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) )  e. 
_V
8079a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) )  e.  _V )
81 fvex 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
8378, 54, 80, 82fsuppmptdm 7743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
843, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 83gsummulc1 16819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )
853, 4rngass 16785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X k )  e.  B  /\  ( k Z j )  e.  B  /\  ( Y `  j )  e.  B ) )  ->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) )
8630, 36, 41, 47, 85syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) )
8786anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )
8887mpteq2dva 4487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) )
8988oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) )
9060, 84, 893eqtr2d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) ) )
9190mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )
9291oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z )
j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
935ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
946ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
9512ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  Z  e.  ( Base `  A
) )
9616ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  N
) )
971, 2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 68mavmulfv 18485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( Z  .x.  Y
) `  k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) ) )
9897oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) ) )
9964ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10071ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
101 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  N )
102 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
103100, 101, 102fovrnd 6346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
k Z j )  e.  B )
10445ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( Y `  j
)  e.  B ) )
105104imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
10699, 103, 105, 48syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )
107 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
108 ovex 6226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  e. 
_V
109108a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  _V )
11081a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
111107, 94, 109, 110fsuppmptdm 7743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
1123, 61, 62, 4, 93, 94, 69, 106, 111gsummulc2 16820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) ) )
11398, 112eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) ) )
114113mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )
115114oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
11652, 92, 1153eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z )
j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) ) )
11715adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( X  .X.  Z )  e.  ( Base `  A
) )
11816adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  N
) )
119 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  i  e.  N )
1201, 2, 3, 4, 64, 29, 117, 118, 119mavmulfv 18485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
) `  i )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z ) j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) ) )
1218adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
12221adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( Z  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  N
) )
1231, 2, 3, 4, 64, 29, 121, 122, 119mavmulfv 18485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) ) `
 i )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) ) )
124116, 120, 1233eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
) `  i )  =  ( ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) `  i ) )
12520, 25, 124eqfnfvd 5910 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  =  ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   <.cop 3992   <.cotp 3994    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    ^m cmap 7325   Fincfn 7421   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   0gc0g 14498    gsumg cgsu 14499  CMndccmn 16399   Ringcrg 16769   maMul cmmul 18405   Mat cmat 18406   maVecMul cmvmul 18479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mulg 15668  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mamu 18407  df-mat 18408  df-mvmul 18480
This theorem is referenced by:  slesolinv  18619  slesolinvbi  18620
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