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Theorem mavmulass 19218
Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
1mavmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
1mavmul.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
1mavmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1mavmul.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
1mavmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
mavmulass.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
mavmulass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
mavmulass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  A ) )
Assertion
Ref Expression
mavmulass  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  =  ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mavmulass
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 1mavmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 1mavmul.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 1mavmul.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 1mavmul.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mavmulass.m . . . . . 6  |-  .X.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
8 mavmulass.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  A ) )
91, 3matbas2 19090 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
106, 5, 9syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
118, 10eleqtrrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
12 mavmulass.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  A ) )
1312, 10eleqtrrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
143, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13mamucl 19070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1514, 10eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  ( Base `  A ) )
16 1mavmul.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16mavmulcl 19216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  N ) )
18 elmapi 7433 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Z
)  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  N
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y ) : N --> B )
19 ffn 5713 . . 3  |-  ( ( ( X  .X.  Z
)  .x.  Y ) : N --> B  ->  (
( X  .X.  Z
)  .x.  Y )  Fn  N )
2017, 18, 193syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  Fn  N )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16mavmulcl 19216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Z  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  N ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21mavmulcl 19216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  e.  ( B  ^m  N ) )
23 elmapi 7433 . . 3  |-  ( ( X  .x.  ( Z 
.x.  Y ) )  e.  ( B  ^m  N )  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) ) : N --> B )
24 ffn 5713 . . 3  |-  ( ( X  .x.  ( Z 
.x.  Y ) ) : N --> B  -> 
( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  Fn  N )
2522, 23, 243syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) )  Fn  N )
26 ringcmn 17424 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
275, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2827adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
296adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
305ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
31 elmapi 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
3211, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  X :
( N  X.  N
) --> B )
34 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
35 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  k  e.  N )
3633, 34, 35fovrnd 6420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( i X k )  e.  B )
37 elmapi 7433 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
3813, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
3938ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  Z :
( N  X.  N
) --> B )
40 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
4139, 35, 40fovrnd 6420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( k Z j )  e.  B )
42 elmapi 7433 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  ->  Y : N --> B )
43 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y : N --> B  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j
)  e.  B )
4443ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y : N --> B  -> 
( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4516, 42, 443syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4645imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
4746ad2ant2r 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( Y `  j )  e.  B
)
483, 4ringcl 17407 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k Z j )  e.  B  /\  ( Y `  j )  e.  B )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )
4930, 41, 47, 48syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  e.  B )
503, 4ringcl 17407 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X k )  e.  B  /\  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )  -> 
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  e.  B )
5130, 36, 49, 50syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )  e.  B )
523, 28, 29, 29, 51gsumcom3fi 19069 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
535ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
546ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
5511ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5613ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  N ) ) )
57 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
58 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
597, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58mamufv 19056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  .X.  Z ) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ) ) )
6059oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
61 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
62 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6346adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
645adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6564ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6632ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> B )
67 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
68 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
6966, 67, 68fovrnd 6420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
i X k )  e.  B )
7069adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i X k )  e.  B )
7138adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
7271ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
73 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
74 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
7572, 73, 74fovrnd 6420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k Z j )  e.  B )
763, 4ringcl 17407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X k )  e.  B  /\  (
k Z j )  e.  B )  -> 
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) )  e.  B )
7765, 70, 75, 76syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) )  e.  B )
78 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) )
79 ovex 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) )  e. 
_V
8079a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) )  e.  _V )
81 fvex 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
8378, 54, 80, 82fsuppmptdm 7832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
843, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 83gsummulc1 17447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )
853, 4ringass 17410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X k )  e.  B  /\  ( k Z j )  e.  B  /\  ( Y `  j )  e.  B ) )  ->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) )
8630, 36, 41, 47, 85syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  (
j  e.  N  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) )
8786anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )
8887mpteq2dva 4525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( k Z j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) )
8988oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( k Z j ) ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) )
9060, 84, 893eqtr2d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) ) )
9190mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i ( X 
.X.  Z ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )
9291oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z )
j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
935ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
946ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
9512ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  Z  e.  ( Base `  A
) )
9616ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  N
) )
971, 2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 68mavmulfv 19215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( Z  .x.  Y
) `  k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) ) )
9897oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) )  =  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) ) )
9964ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10071ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> B )
101 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  N )
102 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
103100, 101, 102fovrnd 6420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
k Z j )  e.  B )
10445ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( Y `  j
)  e.  B ) )
105104imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
10699, 103, 105, 48syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  B )
107 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
108 ovex 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k Z j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  e. 
_V
109108a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  e.  _V )
11081a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
111107, 94, 109, 110fsuppmptdm 7832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
1123, 61, 62, 4, 93, 94, 69, 106, 111gsummulc2 17448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) )  =  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( k Z j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) ) )
11398, 112eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R
) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) ) ) ) )
114113mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r `  R ) ( ( Z  .x.  Y ) `
 k ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) )
115114oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( k Z j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) ) ) ) ) ) )
11652, 92, 1153eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z )
j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) ) )
11715adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( X  .X.  Z )  e.  ( Base `  A
) )
11816adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  N
) )
119 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  i  e.  N )
1201, 2, 3, 4, 64, 29, 117, 118, 119mavmulfv 19215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
) `  i )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  .X.  Z ) j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) ) )
1218adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
12221adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( Z  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  N
) )
1231, 2, 3, 4, 64, 29, 121, 122, 119mavmulfv 19215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( X  .x.  ( Z  .x.  Y ) ) `
 i )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i X k ) ( .r
`  R ) ( ( Z  .x.  Y
) `  k )
) ) ) )
124116, 120, 1233eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
) `  i )  =  ( ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) `  i ) )
12520, 25, 124eqfnfvd 5960 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .x.  Y
)  =  ( X 
.x.  ( Z  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   <.cop 4022   <.cotp 4024    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997   Ringcrg 17393   maMul cmmul 19052   Mat cmat 19076   maVecMul cmvmul 19209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-mvmul 19210
This theorem is referenced by:  slesolinv  19349  slesolinvbi  19350
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