MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0 Structured version   Unicode version

Theorem mavmul0 19139
Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
Assertion
Ref Expression
mavmul0  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  (/) )

Proof of Theorem mavmul0
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . 3  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
2 mavmul0.t . . 3  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 eqid 2382 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 simpr 459 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
6 0fin 7663 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
7 eleq1 2454 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  ( N  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 233 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  N  e. 
Fin )
98adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  Fin )
10 0ex 4497 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
11 snidg 3970 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
1210, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  { (/)
} )
13 oveq1 6203 . . . . . . 7  |-  ( N  =  (/)  ->  ( N Mat 
R )  =  (
(/) Mat  R ) )
1413adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( N Mat  R )  =  (
(/) Mat  R ) )
1514fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( N Mat  R
) )  =  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )
16 mat0dimbas0 19053 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) } )
1716adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) } )
1815, 17eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( N Mat  R
) )  =  { (/)
} )
1912, 18eleqtrrd 2473 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  (
Base `  ( N Mat  R ) ) )
20 eqidd 2383 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  =  (/) )
21 el1o 7067 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  1o  <->  (/)  =  (/) )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  e.  1o )
23 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  N )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  (/) ) )
24 fvex 5784 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
25 map0e 7375 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  ^m  (/) )  =  1o )
2624, 25mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  (/) )  =  1o )
2723, 26eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  N )  =  1o )
2822, 27eleqtrrd 2473 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
2928adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
301, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29mavmulval 19132 . 2  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  ( i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) ) )
31 mpteq1 4447 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) ) )
3231adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (
i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) ) )
33 mpt0 5616 . . 3  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) )  =  (/)
3432, 33syl6eq 2439 . 2  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (
i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  (/) )
3530, 34eqtrd 2423 1  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   {csn 3944   <.cop 3950    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1oc1o 7041    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   Basecbs 14634   .rcmulr 14703    gsumg cgsu 14848   Mat cmat 18994   maVecMul cmvmul 19127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-prds 14855  df-pws 14857  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mat 18995  df-mvmul 19128
This theorem is referenced by:  mavmul0g  19140  cramer0  19277
  Copyright terms: Public domain W3C validator