MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0 Structured version   Unicode version

Theorem mavmul0 18493
Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
Assertion
Ref Expression
mavmul0  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  (/) )

Proof of Theorem mavmul0
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
2 mavmul0.t . . 3  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  R  e.  V )
6 0fin 7654 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
7 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  ( N  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 233 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  N  e. 
Fin )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  N  e.  Fin )
10 0ex 4533 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
11 snidg 4014 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (/)  e.  { (/)
} )
1210, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  { (/)
} )
13 oveq1 6210 . . . . . . 7  |-  ( N  =  (/)  ->  ( N Mat 
R )  =  (
(/) Mat  R ) )
1413adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( N Mat  R )  =  (
(/) Mat  R ) )
1514fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( N Mat  R
) )  =  (
Base `  ( (/) Mat  R ) ) )
16 mat0dimbas0 18453 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) } )
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) } )
1815, 17eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  ( N Mat  R
) )  =  { (/)
} )
1912, 18eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  (
Base `  ( N Mat  R ) ) )
20 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  =  (/) )
21 el1o 7052 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  1o  <->  (/)  =  (/) )
2220, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  e.  1o )
23 oveq2 6211 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  N )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  (/) ) )
24 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
25 map0e 7363 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  ^m  (/) )  =  1o )
2624, 25mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  (/) )  =  1o )
2723, 26eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( N  =  (/)  ->  ( (
Base `  R )  ^m  N )  =  1o )
2822, 27eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  (/)  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
2928adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (/)  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
)
301, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29mavmulval 18486 . 2  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  ( i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) ) )
31 mpteq1 4483 . . . 4  |-  ( N  =  (/)  ->  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) ) )
3231adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (
i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) ) )
33 mpt0 5649 . . 3  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r `  R ) ( (/) `  j ) ) ) ) )  =  (/)
3432, 33syl6eq 2511 . 2  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  (
i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i (/) j ) ( .r
`  R ) (
(/) `  j )
) ) ) )  =  (/) )
3530, 34eqtrd 2495 1  |-  ( ( N  =  (/)  /\  R  e.  V )  ->  ( (/) 
.x.  (/) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   .rcmulr 14361    gsumg cgsu 14501   Mat cmat 18408   maVecMul cmvmul 18481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mat 18410  df-mvmul 18482
This theorem is referenced by:  mavmul0g  18494  cramer0  18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator