MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Unicode version

Theorem matvsca2 18303
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matvsca2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvsca2.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvsca2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
matvsca2.c  |-  C  =  ( N  X.  N
)
Assertion
Ref Expression
matvsca2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matvsca2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18287 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matvsca 18292 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
8 matvsca2.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
97, 8syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.x.  )
109oveqd 6103 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .x.  Y
) )
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
12 matvsca2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
134simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7575 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 5matbas 18289 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
2019, 2syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2117, 20eleqtrrd 2515 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )
23 matvsca2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 18168 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) )
25 matvsca2.c . . . . 5  |-  C  =  ( N  X.  N
)
2625xpeq1i 4855 . . . 4  |-  ( C  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
2726oveq1i 6096 . . 3  |-  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
)
2824, 27syl6eqr 2488 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( C  X.  { X } )  oF  .X.  Y )
)
2910, 28eqtr3d 2472 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Fincfn 7302   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   .scvsca 14234   freeLMod cfrlm 18146   Mat cmat 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-ot 3881  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-prds 14378  df-pws 14380  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-dsmm 18132  df-frlm 18147  df-mat 18257
This theorem is referenced by:  matassa  18306  mattposvs  18314  matsc  18316  matvscacell  30784  mat1dimscm  30794
  Copyright terms: Public domain W3C validator