MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Unicode version

Theorem matvsca2 18453
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matvsca2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvsca2.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvsca2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
matvsca2.c  |-  C  =  ( N  X.  N
)
Assertion
Ref Expression
matvsca2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matvsca2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18436 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matvsca 18441 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
8 matvsca2.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
97, 8syl6eqr 2513 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.x.  )
109oveqd 6216 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .x.  Y
) )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
12 matvsca2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
134simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7693 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 5matbas 18438 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
2019, 2syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2117, 20eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
22 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )
23 matvsca2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 18317 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) )
25 matvsca2.c . . . . 5  |-  C  =  ( N  X.  N
)
2625xpeq1i 4967 . . . 4  |-  ( C  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
2726oveq1i 6209 . . 3  |-  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
)
2824, 27syl6eqr 2513 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( C  X.  { X } )  oF  .X.  Y )
)
2910, 28eqtr3d 2497 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076   {csn 3984    X. cxp 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427   Fincfn 7419   Basecbs 14291   .rcmulr 14357   .scvsca 14360   freeLMod cfrlm 18295   Mat cmat 18404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-ot 3993  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-hom 14380  df-cco 14381  df-prds 14504  df-pws 14506  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-dsmm 18281  df-frlm 18296  df-mat 18406
This theorem is referenced by:  matassa  18456  mattposvs  18465  matsc  18467  matvscacell  31020  mat1dimscm  31036
  Copyright terms: Public domain W3C validator