Theorem matvsca 18443

Description: The matrix ring has the same scalar multiplication as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matvsca	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Proof of Theorem matvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2454	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 18437	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5804	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` A ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		vscaid 14421	. . 3 |- .s = Slot ( .s ` ndx )
7		vscandx 14420	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
8		3re 10507	. . . . . 6 |- 3 e. RR
9		3lt6 10612	. . . . . 6 |- 3 < 6
10	8, 9	gtneii 9598	. . . . 5 |- 6 =/= 3
11		mulrndx 14403	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2751	. . . 4 |- 6 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2748	. . 3 |- ( .s ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 14335	. 2 |- ( .s ` G ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2514	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   <.cop 3992   <.cotp 3994   X. cxp 4947   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   3c3 10484   6c6 10487   ndxcnx 14290   sSet csts 14291   .rcmulr 14359   .scvsca 14362   freeLMod cfrlm 18297   maMul cmmul 18405   Mat cmat 18406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-sets 14299  df-mulr 14372  df-vsca 14375  df-mat 18408

This theorem is referenced by:  matvsca2  18455  matlmod  18456