Theorem matvsca 18678

Description: The matrix ring has the same scalar multiplication as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matvsca	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Proof of Theorem matvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2460	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 18673	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5861	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` A ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		vscaid 14607	. . 3 |- .s = Slot ( .s ` ndx )
7		vscandx 14606	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
8		3re 10598	. . . . . 6 |- 3 e. RR
9		3lt6 10703	. . . . . 6 |- 3 < 6
10	8, 9	gtneii 9685	. . . . 5 |- 6 =/= 3
11		mulrndx 14589	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2759	. . . 4 |- 6 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2756	. . 3 |- ( .s ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 14521	. 2 |- ( .s ` G ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2520	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   <.cop 4026   <.cotp 4028   X. cxp 4990   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   3c3 10575   6c6 10578   ndxcnx 14476   sSet csts 14477   .rcmulr 14545   .scvsca 14548   freeLMod cfrlm 18537   maMul cmmul 18645   Mat cmat 18669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-sets 14485  df-mulr 14558  df-vsca 14561  df-mat 18670

This theorem is referenced by:  matvsca2  18690  matlmod  18691