Theorem matvsca 19100

Description: The matrix ring has the same scalar multiplication as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matvsca	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Proof of Theorem matvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2400	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 19095	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5807	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` A ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		vscaid 14866	. . 3 |- .s = Slot ( .s ` ndx )
7		vscandx 14865	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
8		3re 10568	. . . . . 6 |- 3 e. RR
9		3lt6 10673	. . . . . 6 |- 3 < 6
10	8, 9	gtneii 9646	. . . . 5 |- 6 =/= 3
11		mulrndx 14848	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2700	. . . 4 |- 6 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2697	. . 3 |- ( .s ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 14775	. 2 |- ( .s ` G ) = ( .s ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2460	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1403   e. wcel 1840   <.cop 3975   <.cotp 3977   X. cxp 4938   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   3c3 10545   6c6 10548   ndxcnx 14728   sSet csts 14729   .rcmulr 14800   .scvsca 14803   freeLMod cfrlm 18965   maMul cmmul 19067   Mat cmat 19091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-sets 14737  df-mulr 14813  df-vsca 14816  df-mat 19092

This theorem is referenced by:  matvsca2  19112  matlmod  19113