MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposvs Structured version   Unicode version

Theorem mattposvs 18461
Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposvs.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattposvs.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mattposvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mattposvs.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
Assertion
Ref Expression
mattposvs  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )

Proof of Theorem mattposvs
StepHypRef Expression
1 mattposvs.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mattposvs.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18432 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
5 xpexg 6612 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
65anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
8 snex 4636 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
9 xpexg 6612 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  e.  _V )
11 oftpos 18455 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  e.  _V  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
1210, 11mpancom 669 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
13 tposconst 6888 . . . . 5  |- tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
1413oveq1i 6205 . . . 4  |-  (tpos  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
)
1512, 14syl6eq 2509 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
17 mattposvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mattposvs.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
19 eqid 2452 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
20 eqid 2452 . . . 4  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
211, 2, 17, 18, 19, 20matvsca2 18449 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
2221tposeqd 6853 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  = tpos  ( (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
231, 2mattposcl 18459 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  Y  e.  B )
241, 2, 17, 18, 19, 20matvsca2 18449 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\ tpos  Y  e.  B )  -> 
( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2523, 24sylan2 474 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2616, 22, 253eqtr4d 2503 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980    X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    oFcof 6423  tpos ctpos 6849   Fincfn 7415   Basecbs 14287   .rcmulr 14353   .scvsca 14356   Mat cmat 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-prds 14500  df-pws 14502  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-dsmm 18277  df-frlm 18292  df-mat 18402
This theorem is referenced by:  madulid  18578
  Copyright terms: Public domain W3C validator