MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposvs Structured version   Unicode version

Theorem mattposvs 18724
Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposvs.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattposvs.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mattposvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mattposvs.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
Assertion
Ref Expression
mattposvs  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )

Proof of Theorem mattposvs
StepHypRef Expression
1 mattposvs.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mattposvs.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18681 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
5 xpexg 6709 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
65anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
8 snex 4688 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
9 xpexg 6709 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  _V )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  e.  _V )
11 oftpos 18721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  e.  _V  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
1210, 11mpancom 669 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
13 tposconst 6990 . . . . 5  |- tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
1413oveq1i 6292 . . . 4  |-  (tpos  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
)
1512, 14syl6eq 2524 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
17 mattposvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
18 mattposvs.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
211, 2, 17, 18, 19, 20matvsca2 18697 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
2221tposeqd 6955 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  = tpos  ( (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
231, 2mattposcl 18722 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  Y  e.  B )
241, 2, 17, 18, 19, 20matvsca2 18697 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\ tpos  Y  e.  B )  -> 
( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2523, 24sylan2 474 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2616, 22, 253eqtr4d 2518 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520  tpos ctpos 6951   Fincfn 7513   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   .scvsca 14555   Mat cmat 18676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-prds 14699  df-pws 14701  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mat 18677
This theorem is referenced by:  madulid  18914
  Copyright terms: Public domain W3C validator