MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposvs Structured version   Unicode version

Theorem mattposvs 19084
Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposvs.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattposvs.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mattposvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mattposvs.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
Assertion
Ref Expression
mattposvs  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )

Proof of Theorem mattposvs
StepHypRef Expression
1 mattposvs.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mattposvs.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 19041 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
5 sqxpexg 6604 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
7 snex 4697 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
8 xpexg 6601 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  e.  _V )
10 oftpos 19081 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  e.  _V  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
119, 10mpancom 669 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  (tpos  ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
12 tposconst 7011 . . . . 5  |- tpos  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
1312oveq1i 6306 . . . 4  |-  (tpos  (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
)
1411, 13syl6eq 2514 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R )tpos  Y
) )
1514adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
)tpos  Y ) )
16 mattposvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
17 mattposvs.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
18 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
19 eqid 2457 . . . 4  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
201, 2, 16, 17, 18, 19matvsca2 19057 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
2120tposeqd 6976 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  = tpos  ( (
( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) Y ) )
221, 2mattposcl 19082 . . 3  |-  ( Y  e.  B  -> tpos  Y  e.  B )
231, 2, 16, 17, 18, 19matvsca2 19057 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\ tpos  Y  e.  B )  -> 
( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2422, 23sylan2 474 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x. tpos  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R )tpos 
Y ) )
2515, 21, 243eqtr4d 2508 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  -> tpos  ( X  .x.  Y
)  =  ( X 
.x. tpos  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {csn 4032    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537  tpos ctpos 6972   Fincfn 7535   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   .scvsca 14716   Mat cmat 19036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mat 19037
This theorem is referenced by:  madulid  19274
  Copyright terms: Public domain W3C validator