MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattpostpos Structured version   Unicode version

Theorem mattpostpos 18763
Description: The transpose of the transpose of a square matrix is the square matrix itself. (Contributed by SO, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattposcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mattpostpos  |-  ( M  e.  B  -> tpos tpos  M  =  M )

Proof of Theorem mattpostpos
StepHypRef Expression
1 mattposcl.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mattposcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 2, 3matbas2i 18731 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5 elmapi 7441 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
7 frel 5734 . . 3  |-  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  Rel  M )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( M  e.  B  ->  Rel  M )
9 relxp 5110 . . 3  |-  Rel  ( N  X.  N )
10 fdm 5735 . . . . 5  |-  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  dom  M  =  ( N  X.  N ) )
116, 10syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  dom  M  =  ( N  X.  N ) )
1211releqd 5087 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  ( Rel  dom  M  <->  Rel  ( N  X.  N ) ) )
139, 12mpbiri 233 . 2  |-  ( M  e.  B  ->  Rel  dom 
M )
14 tpostpos2 6977 . 2  |-  ( ( Rel  M  /\  Rel  dom 
M )  -> tpos tpos  M  =  M )
158, 13, 14syl2anc 661 1  |-  ( M  e.  B  -> tpos tpos  M  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    X. cxp 4997   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285  tpos ctpos 6955    ^m cmap 7421   Basecbs 14493   Mat cmat 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-prds 14706  df-pws 14708  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mat 18717
This theorem is referenced by:  madulid  18954
  Copyright terms: Public domain W3C validator