MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposcl Structured version   Unicode version

Theorem mattposcl 18822
Description: The transpose of a square matrix is a square matrix of the same size. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattposcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mattposcl  |-  ( M  e.  B  -> tpos  M  e.  B )

Proof of Theorem mattposcl
StepHypRef Expression
1 mattposcl.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mattposcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 2, 3matbas2i 18791 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
5 elmapi 7438 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
6 tposf 6981 . . . 4  |-  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R )  -> tpos  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
74, 5, 63syl 20 . . 3  |-  ( M  e.  B  -> tpos  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
8 fvex 5862 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
91, 3matrcl 18781 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
109simpld 459 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
11 xpfi 7789 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1211anidms 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
14 elmapg 7431 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  ( N  X.  N
)  e.  Fin )  ->  (tpos  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <-> tpos  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) ) )
158, 13, 14sylancr 663 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  (tpos  M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  <-> tpos  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) ) )
167, 15mpbird 232 . 2  |-  ( M  e.  B  -> tpos  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
171, 2matbas2 18790 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
189, 17syl 16 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
1918, 3syl6eqr 2500 . 2  |-  ( M  e.  B  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  B )
2016, 19eleqtrd 2531 1  |-  ( M  e.  B  -> tpos  M  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    X. cxp 4983   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277  tpos ctpos 6952    ^m cmap 7418   Fincfn 7514   Basecbs 14504   Mat cmat 18776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-ot 4019  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-pws 14719  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-dsmm 18630  df-frlm 18645  df-mat 18777
This theorem is referenced by:  mattposvs  18824  mdettpos  18980  madutpos  19011  madulid  19014
  Copyright terms: Public domain W3C validator