MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattpos1 Structured version   Unicode version

Theorem mattpos1 18451
Description: The transposition of the identity matrix is the identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattpos1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mattpos1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
Assertion
Ref Expression
mattpos1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> tpos  .1.  =  .1.  )

Proof of Theorem mattpos1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
21tposmpt2 6882 . . 3  |- tpos  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
3 mattpos1.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
63, 4, 5mat1 18445 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
76tposeqd 6848 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> tpos  ( 1r `  A )  = tpos  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
83, 4, 5mat1 18445 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
9 equcom 1734 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  <->  i  =  j )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  N  /\  i  e.  N )  ->  ( j  =  i  <-> 
i  =  j ) )
1110ifbid 3909 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  N  /\  i  e.  N )  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
1211mpt2eq3ia 6250 . . . 4  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
138, 12syl6eq 2508 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
142, 7, 133eqtr4a 2518 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> tpos  ( 1r `  A )  =  ( 1r `  A ) )
15 mattpos1.o . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  A )
1615tposeqi 6878 . 2  |- tpos  .1.  = tpos  ( 1r `  A )
1714, 16, 153eqtr4g 2517 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> tpos  .1.  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3889   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192  tpos ctpos 6844   Fincfn 7410   0gc0g 14480   1rcur 16708   Ringcrg 16751   Mat cmat 18389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-ot 3984  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-hom 14364  df-cco 14365  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-prds 14488  df-pws 14490  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-ghm 15847  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-subrg 16969  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-dsmm 18266  df-frlm 18281  df-mamu 18390  df-mat 18391
This theorem is referenced by:  madulid  18567
  Copyright terms: Public domain W3C validator