MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsubgcell Structured version   Unicode version

Theorem matsubgcell 19443
Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matsubgcell.s  |-  S  =  ( -g `  A
)
matsubgcell.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
matsubgcell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 19421 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  N  e.  Fin )
54adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
653ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
7 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
8 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
91, 8matsubg 19441 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( -g `  A
) )
106, 7, 9syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  A ) )
11 matsubgcell.s . . . . . 6  |-  S  =  ( -g `  A
)
1210, 11syl6reqr 2482 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  S  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
1312oveqd 6318 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y ) )
14 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
15 xpfi 7844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1615anidms 649 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
183, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1918adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
20193ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
212eleq2i 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  A )
)
2221biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
231, 8matbas 19422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
243, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
2625adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
27263ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
282eleq2i 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2928biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
301, 2matrcl 19421 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
3130, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
3229, 31eleqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
3332adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
34333ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
35 matsubgcell.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
36 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
378, 14, 7, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 19311 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) Y )  =  ( X  oF  .-  Y
) )
3813, 37eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X  oF 
.-  Y ) )
3938oveqd 6318 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( I ( X  oF  .-  Y ) J ) )
40 df-ov 6304 . . 3  |-  ( I ( X  oF 
.-  Y ) J )  =  ( ( X  oF  .-  Y ) `  <. I ,  J >. )
41 opelxpi 4881 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
4241anim2i 571 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
43423adant1 1023 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
44 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
451, 44, 2matbas2i 19431 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
46 elmapfn 7498 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  X  Fn  ( N  X.  N
) )
4847adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
491, 44, 2matbas2i 19431 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapfn 7498 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
5149, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
5251adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
53 inidm 3671 . . . . 5  |-  ( ( N  X.  N )  i^i  ( N  X.  N ) )  =  ( N  X.  N
)
54 df-ov 6304 . . . . . . 7  |-  ( I X J )  =  ( X `  <. I ,  J >. )
5554eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  ( X `
 <. I ,  J >. )  =  ( I X J )
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( X `  <. I ,  J >. )  =  ( I X J ) )
57 df-ov 6304 . . . . . . 7  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
5857eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 6550 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( ( X  oF  .-  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6143, 60syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  oF 
.-  Y ) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6240, 61syl5eq 2475 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  oF  .-  Y ) J )  =  ( ( I X J ) 
.-  ( I Y J ) ) )
6339, 62eqtrd 2463 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   <.cop 4002    X. cxp 4847    Fn wfn 5592   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   Basecbs 15106   -gcsg 16656   Ringcrg 17765   freeLMod cfrlm 19293   Mat cmat 19416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-sup 7958  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-hom 15199  df-cco 15200  df-0g 15325  df-prds 15331  df-pws 15333  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-subg 16799  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-subrg 17991  df-lmod 18078  df-lss 18141  df-sra 18380  df-rgmod 18381  df-dsmm 19279  df-frlm 19294  df-mat 19417
This theorem is referenced by:  matinvgcell  19444  dmatsubcl  19507  chmatval  19837  chpmat1dlem  19843  chpdmatlem2  19847  chpdmatlem3  19848
  Copyright terms: Public domain W3C validator