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Theorem matsubgcell 31009
Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matsubgcell.s  |-  S  =  ( -g `  A
)
matsubgcell.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
matsubgcell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18430 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  N  e.  Fin )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
653ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
7 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
8 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
91, 8matsubg 31007 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( -g `  A
) )
106, 7, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  A ) )
11 matsubgcell.s . . . . . 6  |-  S  =  ( -g `  A
)
1210, 11syl6reqr 2511 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  S  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
1312oveqd 6210 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y ) )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
15 xpfi 7687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1615anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
183, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
20193ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
212eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  A )
)
2221biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
231, 8matbas 18432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
243, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
27263ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
282eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2928biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
301, 2matrcl 18430 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
3130, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
3229, 31eleqtrrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
34333ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
35 matsubgcell.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
36 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
378, 14, 7, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 18310 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) Y )  =  ( X  oF  .-  Y
) )
3813, 37eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X  oF 
.-  Y ) )
3938oveqd 6210 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( I ( X  oF  .-  Y ) J ) )
40 df-ov 6196 . . 3  |-  ( I ( X  oF 
.-  Y ) J )  =  ( ( X  oF  .-  Y ) `  <. I ,  J >. )
41 opelxpi 4972 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
4241anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
43423adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
44 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
451, 44, 2matbas2i 18441 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
46 elmapfn 7338 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  X  Fn  ( N  X.  N
) )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
491, 44, 2matbas2i 18441 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapfn 7338 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
5251adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
53 inidm 3660 . . . . 5  |-  ( ( N  X.  N )  i^i  ( N  X.  N ) )  =  ( N  X.  N
)
54 df-ov 6196 . . . . . . 7  |-  ( I X J )  =  ( X `  <. I ,  J >. )
5554eqcomi 2464 . . . . . 6  |-  ( X `
 <. I ,  J >. )  =  ( I X J )
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( X `  <. I ,  J >. )  =  ( I X J ) )
57 df-ov 6196 . . . . . . 7  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
5857eqcomi 2464 . . . . . 6  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 6432 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( ( X  oF  .-  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6143, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  oF 
.-  Y ) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6240, 61syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  oF  .-  Y ) J )  =  ( ( I X J ) 
.-  ( I Y J ) ) )
6339, 62eqtrd 2492 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   <.cop 3984    X. cxp 4939    Fn wfn 5514   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    oFcof 6421    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   Basecbs 14285   -gcsg 15524   Ringcrg 16760   freeLMod cfrlm 18289   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mat 18400
This theorem is referenced by:  matinvgcell  31010  dmatsubcl  31034  scmatsubcl  31041  matcpmatval  31290  cpmat1dlem  31292  cpdmatlem2  31296  cpdmatlem3  31297
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