MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsubgcell Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem matsubgcell 19459
Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matsubgcell.s  |-  S  =  ( -g `  A
)
matsubgcell.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
matsubgcell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 19437 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  N  e.  Fin )
54adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
653ad2ant2 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
7 simp1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
8 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
91, 8matsubg 19457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( -g `  A
) )
106, 7, 9syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  A ) )
11 matsubgcell.s . . . . . 6  |-  S  =  ( -g `  A
)
1210, 11syl6reqr 2504 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  S  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
1312oveqd 6307 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y ) )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
15 xpfi 7842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1615anidms 651 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1716adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
183, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
1918adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
20193ad2ant2 1030 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
212eleq2i 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  A )
)
2221biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  A
) )
231, 8matbas 19438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
243, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
2625adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
27263ad2ant2 1030 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
282eleq2i 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2928biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
301, 2matrcl 19437 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
3130, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  A ) )
3229, 31eleqtrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
3332adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
34333ad2ant2 1030 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
35 matsubgcell.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  R )
36 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
378, 14, 7, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 19327 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X ( -g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) Y )  =  ( X  oF  .-  Y
) )
3813, 37eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( X S Y )  =  ( X  oF 
.-  Y ) )
3938oveqd 6307 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( I ( X  oF  .-  Y ) J ) )
40 df-ov 6293 . . 3  |-  ( I ( X  oF 
.-  Y ) J )  =  ( ( X  oF  .-  Y ) `  <. I ,  J >. )
41 opelxpi 4866 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
4241anim2i 573 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
43423adant1 1026 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) ) )
44 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
451, 44, 2matbas2i 19447 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
46 elmapfn 7494 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
4745, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  X  Fn  ( N  X.  N
) )
4847adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
491, 44, 2matbas2i 19447 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapfn 7494 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
5149, 50syl 17 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
5251adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
53 inidm 3641 . . . . 5  |-  ( ( N  X.  N )  i^i  ( N  X.  N ) )  =  ( N  X.  N
)
54 df-ov 6293 . . . . . . 7  |-  ( I X J )  =  ( X `  <. I ,  J >. )
5554eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  ( X `
 <. I ,  J >. )  =  ( I X J )
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( X `  <. I ,  J >. )  =  ( I X J ) )
57 df-ov 6293 . . . . . . 7  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
5857eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 6540 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( ( X  oF  .-  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6143, 60syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( X  oF 
.-  Y ) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
6240, 61syl5eq 2497 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  oF  .-  Y ) J )  =  ( ( I X J ) 
.-  ( I Y J ) ) )
6339, 62eqtrd 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X S Y ) J )  =  ( ( I X J )  .-  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   <.cop 3974    X. cxp 4832    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   Basecbs 15121   -gcsg 16671   Ringcrg 17780   freeLMod cfrlm 19309   Mat cmat 19432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mat 19433
This theorem is referenced by:  matinvgcell  19460  dmatsubcl  19523  chmatval  19853  chpmat1dlem  19859  chpdmatlem2  19863  chpdmatlem3  19864
  Copyright terms: Public domain W3C validator