MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsca2 Structured version   Unicode version

Theorem matsca2 18439
Description: The scalars of the matrix ring are the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matsca2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  A ) )

Proof of Theorem matsca2
StepHypRef Expression
1 xpfi 7687 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
21anidms 645 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
43frlmsca 18296 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( N  X.  N
)  e.  Fin )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
54ancoms 453 . . 3  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
62, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
7 matsca2.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
87, 3matsca 18434 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  A ) )
96, 8eqtrd 2492 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  R  =  (Scalar `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    X. cxp 4939   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413  Scalarcsca 14352   freeLMod cfrlm 18289   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-prds 14497  df-pws 14499  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mat 18400
This theorem is referenced by:  matassa  18450  matvscl  18451  matinv  18608  scmatscmid  31014  scmatscmidr  31015  mat0dimscm  31022  monmatcollpw  31239  pmatcollpw3  31241  pmatcollpw3fi  31242  pmatcollpw4fi1lem1  31245  pmatcollpwscmatlem2  31249  pmatcollpwscmatlem3  31250  pmat2matp  31282  matcpmatval  31290  cpmat1dlem  31292  cpmat1d  31293  cpdmatlem0  31294  chfacfscmulcl  31314  chfacfscmul0  31315  chfacfscmulgsum  31317  cpmidpmatlem2  31328  cpmidpmatlem3  31329  cpmadugsumlemB  31331  cpmadugsumlemC  31332  cpmadugsumlemF  31333  cpmadugsumfi  31334  cpmidgsum2  31336  cayhamlem2  31342  chcoeffeqlem  31343
  Copyright terms: Public domain W3C validator