MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsca Structured version   Unicode version

Theorem matsca 19438
Description: The matrix ring has the same scalars as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matsca  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  (Scalar `  G )  =  (Scalar `  A )
)

Proof of Theorem matsca
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2422 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 19434 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5885 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  (Scalar `  A )  =  (Scalar `  ( G sSet  <.
( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
) )
6 scaid 15257 . . 3  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
7 3re 10690 . . . . 5  |-  3  e.  RR
8 3lt5 10790 . . . . 5  |-  3  <  5
97, 8gtneii 9753 . . . 4  |-  5  =/=  3
10 scandx 15256 . . . . 5  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
11 mulrndx 15241 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeq12i 2709 . . . 4  |-  ( (Scalar `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx )  <->  5  =/=  3 )
139, 12mpbir 212 . . 3  |-  (Scalar `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 15164 . 2  |-  (Scalar `  G )  =  (Scalar `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) )
155, 14syl6reqr 2482 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  (Scalar `  G )  =  (Scalar `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   <.cop 4004   <.cotp 4006    X. cxp 4851   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   3c3 10667   5c5 10669   ndxcnx 15117   sSet csts 15118   .rcmulr 15190  Scalarcsca 15192   freeLMod cfrlm 19307   maMul cmmul 19406   Mat cmat 19430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-sets 15126  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-mat 19431
This theorem is referenced by:  matsca2  19443  matlmod  19452
  Copyright terms: Public domain W3C validator